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以前、

2次曲線の問題
http://q.hatena.ne.jp/1271179449

について質問させていただきました。
今回は「2次曲"面"」で、頭を悩ませておりまして・・・

---------------------
【問】次の2次曲面の標準形を求めよ。
(3×3行列Aと、4×4行列A'を求め、Aを対角化する直行行列Tを求めること)

(a)2x^2+4y^2+z^2+4xy?2xz?1=0
(b)3x^2+2y^2+2z^2+2xy+2xz?1=0
---------------------

という問題です。解き方も疑問なのですが、この方程式は、2次曲線の時の問題と似たような2次方程式なのに、曲面を示す方程式になるのでしょうか?
曲線ではなく、どうして(a)と(b)は、曲"面"を示す方程式になるのか疑問です・・・よろしくお願いします(>_<)

1274900796
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●質問者: moon-fondu
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:2Z 2次方程式 方程式 標準形 直行
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 4/4件

▽最新の回答へ

1 ● Loopy
●30ポイント

http://q.hatena.ne.jp/images/question/1274900/1274900796.jpg

曲線ではなく、どうして(a)と(b)は、曲"面"を示す方程式になるのか疑問です・・・よろしくお願いします(>_<)

式にx,y,zの3次元の変数があるので式は3次元空間の点を示すことになります。

x,y,zのうちどれは一つを決めると変数が二つの式になり、これは曲線をあらわします。

つまりzを決めるとx-y平面状の曲線になり、zを連続的に変化させるとx-y平面の曲線が連続して変化し、曲面を形成します。

◎質問者からの返答

ありがとうございます、なんとなくイメージが掴めました!


2 ● rsc
●100ポイント ベストアンサー

【問】次の2次曲面の標準形を求めよ。(3×3行列Aと、4×4行列A'を求め、Aを対角化する直行行列Tを求めること)

(b)の方が解きやすいから、(b)から求めます。

(b)3x^2+2y^2+2z^2+2xy+2xz?1=0

まず、AとA'を求めます。参考URLで言うと、行列Aの行列式はΔ、行列A'の行列式はDになります。

A=( 3 1 1 ), A'=( 3 1 1 0 )
 ( 1 2 0 ) ( 1 2 0 0 )
 ( 1 0 2 ) ( 1 0 2 0 )
 ( 0 0 0 -1 )
Δ=|A|=8, D=|A'|=-8

 次に、Δ(λ)=0を求めると、
Δ(λ)=| 3-λ 1 1 |=-λ^3+7λ^2-14λ+8=0
 | 1 2-λ 0 |
 | 1 0 2-λ |
∴Δ2=7,Δ1=14 ←Δ1,Δ2は、上の計算結果のλの係数に名前を付けているだけです。
∴λ=1,2,4

 参考URLの(5.2)式から、求める標準形は
X^2+2Y^2+4Z^2+(-8)/8=0
∴X^2+2Y^2+4Z^2=1
∴X^2+Y^2/(1/√[2])^2+Z^2/(1/2)^2=1 (長円面(楕円面))

 問題の指定により、直交行列Tを求めるておくと、λは求めてあるので、 固有値λ=1,2,4
 λ=1のとき、
Δ(1)=( 2 1 1 )
 ( 1 1 0 )
 ( 1 0 1 )
∴
( 2 1 1 )(x) (0)
( 1 1 0 )(y)=(0)
( 1 0 1 )(z) (0)
∴
 2x+y+z=0
  x+y =0
  x +z=0
 これから、x:y:zの比を求めて、x:y:z=1:-1:1
∴x/1=y/-1=z/-1=t
と置いて、大きさが1になるものを求めると、
x^2+y^2+z^2=3t^2=1
∴t=±1/√[3]で、正の方をとって、
∴↑t1=(+1/√[3)
 (-1/√[3)
 (-1/√[3)
 λ=2のとき、
Δ(2)=( 1 1 1 )
 ( 1 0 0 )
 ( 1 0 0 )
∴
 x+y+z=0
 x =0
 x =0
∴x:y:z=0:1:-1
 大きさが1のものを求めるには、√[0^2+1^2+(-1)^2]で割ってもよい。
∴↑t2=( 0 )
 (+1/√[2])
 (-1/√[2])
 λ=4のとき、
Δ(4)=(-1 1 1 )
 ( 1 -2 0 )
 ( 1 0 -2 )
∴
 -x+ y+ z=0
  x-2y =0
  x -2z=0
∴x:y:z=2:1:1
∴↑t3=(2/√[6])
 (1/√[6])
 (1/√[6])
よって求める直交行列Tは、
T=(+1/√[3] 0 2/√[6])
 (-1/√[3] +1/√[2] 1/√[6])
 (-1/√[3] -1/√[2] 1/√[6])

(a)2x^2+4y^2+z^2+4xy?2xz?1=0

 まず、AとA'を求めます。参考URLで言うと、行列Aの行列式はΔ、行列A'の行列式はDになります。
A=( 2 2 -1 ), A'=( 2 2 -1 0 )
 ( 2 4 0 ) ( 2 4 0 0 )
 (-1 0 1 ) (-1 0 1 0 )
 ( 0 0 0 -1 )
Δ=|A|=0, D=|A'|=0

 次に、Δ(λ)=0を求めると、
Δ(λ)=| 2-λ 2 -1 |=-λ^3+7λ^2-9λ=0
 | 2 4-λ 0 |
 | -1 0 1-λ |
∴Δ2=7,Δ1=9
∴λ=0,(7±√[13])/2
D(μ)=| 2-μ 2 -1 0 |=μ^3-7μ^2+9μ=0
 | 2 4-μ 0 0 |
 |-1 0 1-μ 0 |
 | 0 0 0 -1 |
∴D2=-7,D1=-9

 参考URLの(5.2)式から、求める標準形は
λ1=(7+√[13])/2,λ2=(7-√[13])/2とおくと、
λ1X^2+λ2Y^2+(-9)/9=0
∴λ1X^2+λ2Y^2=1
∴X^2/(1/λ1)+Y^2/(1/λ2)=1 (長円柱(楕円柱))

 問題の指定により、直交行列Tも求めておかなければなりませんが、√が入って来て、さすがに滅入ってしまいました。他の方にお任せします。

■この方程式は、2次曲線の時の問題と似たような2次方程式なのに、曲面を示す方程式になるのでしょうか?

次元が一つ増えるからじゃないでしょうか。たとえば、xy平面で、ax+by+c=0は直線を表しますが、空間では平面を表します。

xy平面上では、xy平面z=0が暗黙の大前提となっています。つまり、空間から見ると、平面ax+by+c=0とxy平面z=0との交線になっています。

※参考URL

●二次曲面の分類

http://ir.iwate-u.ac.jp/dspace/bitstream/10140/881/1/erar-v16n2p...

◎質問者からの返答

なるほどです!リンク先を読み、

《2次曲面の方程式》

[a11]x^3+[a22]y^2+[a33]z^2+2[a12]xy+2[a13]xz+2[a23]yz+2[a1]x+2[a2]y+2[a3]z+[a0]=0

があることがわかりました、ありがとうございます!

「-λ^3+7λ^2-14λ+8=0」は、リンク先(二次曲面の分類)の「(0.2)」に相当するのですね?。

確かに、rsc96074さんに以前教わった

サラスの方法

http://q.hatena.ne.jp/1269275132

で計算してみると、

(b)3x^2+2y^2+2z^2+2xy+2xz?1=0

Δ(λ)=

| 3-λ 1 1 |

| 1 2-λ 0 |

| 1 0 2-λ |

=(3-λ)*(2-λ)*(2-λ)+1*0*1+1*1*0?1*(2-λ)*1?1*1*(2-λ)?(3-λ)*0*0

=(6-5λ+λ^2)*(2-λ)?(2-λ)?(2-λ)・・・(★)

=12?6λ?10λ+5λ^2+2λ^2?λ^3?2+λ?2+λ

=?λ^3+7λ^2+14λ+8

(0.2)の形になりました!

★から、

=(2-λ){(6-5λ+λ^2)-1-1}

=(2-λ)(λ^2-5λ+4)・・・(◆)

=2λ^2?10λ+8?λ^3+5λ^2?4λ

=?λ^3+7λ^2?14λ+8

という風に計算してもいいですよね!

そしてこの式から、

Δ[2]=7、Δ[1]=14、Δ=8

であることが、

《2次曲面の「行列式」》

?λ^3+Δ[2]λ^2?Δ[1]λ+Δ=0 ・・・(0.2)

からわかるということですね!

λ=1,2,4

は、「(2-λ)(λ^2-5λ+4)・・・◆」を、「(2-λ)(λ-1)(λ-4)」に因数分解すれば、出てきますね。

因数分解できないときは、何か対応策ありましたね、高校の時だったような・・・忘れたので本題に戻りますと、λとΔが出たので、次はDですよね。

rsc96074さんのリンクを参考にすると、Dは「二次曲面の母線の有無を判別する」そうですね、「母線」という名称は初めて聞いたので、あまりイメージが湧きませんが・・・(^_^;)

で、「D=?8<0」なので、(b)は、虚なる相交二母線をもつ「虚線織面」を備えた二次曲面だと。

こんな感じで、λ、Δ、Dを求めてようやく、2次曲面の標準形があらわになるのですね。

(5.2)によると、

《2次曲面の「標準形」》

λ[1]X^2+λ[2]Y^2+λ[3]Z^3+(D/Δ)=0

なので、これにλ、Δ、Dの値を当てはめると、rsc96074さんが解答してくださったように、

X^2+2Y^2+4Z^2+(-8)/8=0

∴X^2+2Y^2+4Z^2=1・・・♪

になりますね。しかしここから、いきなり、

∴X^2+Y^2/(1/√[2])^2+Z^2/(1/2)^2=1 (長円面(楕円面))

という結論になった時点で、躓きました(>_<)

なぜいきなり、2Y^2が「Y^2/(1/√[2])^2」になり、4Z^2が「Z^2/(1/2)^2」に変形しているのでしょうか?

なんとなく、この変形のために直交行列を求める必要があるような気はするのですが・・・rsc96074さんが求めてくださった直交行列Tの、3行目の2列目に「-1/√[2]」がありますし・・・しかし、そもそも「♪」の時点で、標準形が求まり、「D<0」「Δ[1]>0、Δ*Δ[2]>0」であることもわかっているので、リンク先の第4表を参考にすると、「♪」まで到達した時点で

∴X^2+2Y^2+4Z^2=1 (長円柱(楕円柱))

と、結論付けては、いけないのでしょうか?

お手数おかけして申し訳ないのですが、なぜ「∴X^2+Y^2/(1/√[2])^2+Z^2/(1/2)^2=1 (長円面(楕円面))」という一行が必要なのか、再度教えていただけないでしょうか?

よろしくお願いします<m(__)m>


3 ● moon
●0ポイント

やってみましたが、

わかりませんでした((え


4 ● yohohoho
●25ポイント

X^2+2Y^2+4Z^2=1と同値の

X^2+Y^2/(1/√[2])^2+Z^2/(1/2)^2=1の式が意味することについて。

X^2+Y^2+Z^2=1は、原点中心、半径1の球体の式になりますが

この球体をy軸方向に1/√[2]、z軸方向に1/2倍拡大したことを明確にする式が、変形後の式です。

◎質問者からの返答

すいません、ちょっと疑問に思ったのですが、どうして

X^2+2Y^2+4Z^2=1

と、

X^2+Y^2/(1/√[2])^2+Z^2/(1/2)^2=1

が出てきたのでしょうか?

問題の(a)式や(b)式との関連が見えないのですが・・・(>_<)

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