人力検索はてな
モバイル版を表示しています。PC版はこちら
i-mobile

解析幾何学や2次曲線の授業で出された課題なのですが・・・どのように証明すればよいのか困っています。

問題文は、添付ファイルをご覧いただければ幸いです。

そもそも何の公式なのかも、さっぱりわからない状態でして・・・(ToT)
皆様のお力をお貸しいただきたい次第です。
よろしくお願いします<m(__)m>

1276008268
●拡大する

●質問者: moon-fondu
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:幾何学 添付ファイル 証明 課題
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 2/2件

▽最新の回答へ

1 ● koriki-kozou
●5ポイント

ベクトルの公式証明問題のようだね

左辺/右辺のどちらからでもいいから、成分をあらわす式(例えば {d(AxBx+AyBy+AzBz) \over dt} な感じ)にどんどん置き換えていけば辿り付くよ

課題は自分で解かないと意味無いから、この先は講義で使ったテキストやプリント、ノートを読み直して

(「ベクトル 公式」で検索してもいいけどね。検索して検証したならば自力で調べたと言えるし、スキルアップにもなるしね)

◎質問者からの返答

そうですよね・・・でも、自力で解ける水準になるには、多くの問題をインプットしておかないと難しい気もするので・・・講義で使ったテキストやプリントはあまり当てにならないので・・・いつもここに甘えてます・・・(^_^;)


2 ● rsc
●100ポイント ベストアンサー

i,j,kは、高校流に表せば、↑e_x,↑e_y,↑e_zです。

A=Axi+Ayj+Azk を成分で表せば、 A=(Ax,Ay,Az)

B=Bxi+Byj+Bzk を成分で表せば、 B=(Bx,By,Bz)

ベクトル ↑uを大文字のU一文字で表すことにすると、まず、基本公式として、一般に、

ベクトルU=(x,y,x) の各成分が実数 t の関数であるとき,

dU/dt=(dx/dt,dy/dt,dz/dt)

※1番目のURL参照。あるいは、2番目のURLの(33)式(7ページ目)参照。

(1)方針としては、成分で表して、証明します。行数節約のため、行ベクトルで表しますが、自分で紙に書くときは列ベクトルにすると見やすいです。それから、たとえば、(d/dt)Ax=Ax'で表すことにします。

A+B=(Ax+Bx,Ay+By,Az+Bz)

(左辺)=(d/dt)(A+B)

=((d/dt)(Ax+Bx),(d/dt)(Ay+By),(d/dt)(Az+Bz))

=(Ax'+Bx',Ay'+By',Az'+Bz')・・・?

(右辺)=(d/dt)A+(d/dt)B

=(Ax',Ay',Az')+(Bx',By',Bz')

=(Ax'+Bx',Ay'+By',Az'+Bz')・・・?

?,?から、

∴(d/dt)(A+B)=(d/dt)A+(d/dt)B

(2)<A, B> は A と B の内積を表すようです。

<A, B>=AxBx+AyBy+AzBz ←スカラーになっています。

Ax,Bx,Ay,By,Az,Bzは、tの関数で、積の微分法を用いて、

(左辺)=(d/dt)<A, B>

=(Ax'Bx+AxBx')+(Ay'By+AyBy')+(Az'Bz+AzBz')

=(Ax'Bx+Ay'By+Az'Bz)+(AxBx'+AyBy'+AzBz')・・・?

<(d/dt)A, B>=Ax'Bx+Ay'By+Az'Bz・・・?

<A, (d/dt)B>=AxBx'+AyBy'+AzBz'・・・?

?,?,?から、

∴(d/dt)<A, B>=<(d/dt)A, B>+<A, (d/dt)B>

※2番目のURLの7ページ目の方法((35)式)でもいいです。

(3)方針としては、成分で表して、証明します。

A×B=|i j k |
 |Ax Ay Az|
 |Bx By Bz|
=(AyBz-AzBy)i+(AzBx-AxBz)j+(AxBy-AyBx)k

∴成分で表すと

A×B=(AyBz-AzBy,AzBx-AxBz,AxBy-AyBx)・・・?

同様にして、

(d/dt)A×B=(Ay'Bz-Az'By,Az'Bx-Ax'Bz,Ax'By-Ay'Bx)・・・?

A×(d/dt)B=(AyBz'-AzBy',AzBx'-AxBz',AxBy'-AyBx')・・・?

?から、

(左辺)=(d/dt)(A×B)

=((d/dt)(AyBz-AzBy),(d/dt)(AzBx-AxBz),(d/dt)(AxBy-AyBx))

x成分について、Ay,Az,By,Bzは、tの関数で、積の微分法から、

(d/dt)(AyBz-AzBy)=Ay'Bz+AyBz'?Az'By?AzBy'

=(Ay'Bz?Az'By)+(AyBz'?AzBy')・・・?

y成分について、同様にして、

(d/dt)(AzBx-AxBz)=Az'Bx+AzBx'?Ax'Bz?AxBz'

=(Az'Bx?Ax'Bz)+(AzBx'?AxBz')・・・?

z成分について、同様にして、

(d/dt)(AxBy-AyBx)=Ax'By+AxBy'?Ay'Bx?AyBx'

=(Ax'By?Ay'Bx)+(AxBy'?AyBx')・・・?

?,?から、

(右辺)=(d/dt)A×B+A×(d/dt)B

=(Ay'Bz-Az'By,Az'Bx-Ax'Bz,Ax'By-Ay'Bx)+(AyBz'-AzBy',AzBx'-AxBz',AxBy'-AyBx')

=((Ay'Bz-Az'By)+(AyBz'-AzBy'),(Az'Bx-Ax'Bz)+(AzBx'-AxBz'),(Ax'By-Ay'Bx)+(AxBy'-AyBx'))・・・?

?,?,?,?から、

∴(d/dt)(A×B)=(d/dt)A×B+A×(d/dt)B

※参考URL

●ベクトルと微分

http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/kaisekikiso/node68.html

●1 ベクトル

http://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:MEXoFSsnLs4J:www-het.p...

http://www-het.phys.sci.osaka-u.ac.jp/~higashij/lecture/am03/vec...

●数学記号の表

<x, y> は x と y の内積を表す

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%A8%98%E5%8F%B...

●ベクトルの演算(4)

>ベクトルの内積の微分

http://www.geocities.jp/newtondynam/sugaku/vecten4.html

●外積と微分

http://members.ld.infoseek.co.jp/aozora_m/taiwa2/inryoku/node12....

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1136477...

◎質問者からの返答

なるほどです、1番目と2番目のURL、参考にさせていただきました!

「ベクトルの微分」なるものを使えば、証明できるそうで。そして、

■□■□■□■□■□

ベクトルU=(x,y,z) の各成分が実数 t の関数であるとき,

dU/dt=(dx/dt,dy/dt,dz/dt)

■□■□■□■□■□

が、ベクトルの微分の基本公式ですね!

列ベクトルは、

(Ax+Bx)

A+B=(Ay+By)

(Az+Bz)

な感じですよね、レイアウトが崩れちゃいやすい感じの・・・(^_^;)

(1)は、基本公式を普通に当てはめれば証明出来るみたいで。

(2)は、そうなんです、山カッコが何を意味しているのか判然としてなかったのですが・・・リンク先の「数学記号の表」拝見しました!rsc96074さんはリサーチ力もすごいですね(TωT)

ここでちょっと詰まりましたが、「2番目のURLの7ページ目の方法((35)式)」を拝見すると、「ベクトルの積を微分するときも、積の微分法の公式(24)を用いればよい。」と書かれてあったのが参考になりました!

(f(x)g(x))'= f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

は、ベクトルの積にも使えるんですね?。

(3)は、(2)を複雑にした感じですね。

でもなんとなく理解できました、ありがとうございます!

ただ、一つだけ疑問が残りまして。

(3)で、rsc96074さんが一番最初に書いてくださった、

A×B=|i j k |

|Ax Ay Az|

|Bx By Bz|

=(AyBz-AzBy)i+(AzBx-AxBz)j+(AxBy-AyBx)k

についてなのですが、どうして一行目にi、j、kと、出てきているのでしょうか?

そもそも、AとBを掛け合わせたものが「三行三列の行列でも表せる」という根拠を、問題文のうちのどこに見出せばよいのでしょうか?AもBも、項が3つあるからでしょうか?

すごく当たり前のことを聞いているかもしれず、申し訳ないのですが、再度ご回答いただければ幸いです。

よろしくお願いします(>_<)

関連質問


●質問をもっと探す●



0.人力検索はてなトップ
8.このページを友達に紹介
9.このページの先頭へ
対応機種一覧
お問い合わせ
ヘルプ/お知らせ
ログイン
無料ユーザー登録
はてなトップ