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【予想の証明】

mを正の整数とします。mと互いに素な任意の正整数kを定めた時、
(m^n?1)がkで割り切れるような正の整数nが必ず存在する…、と予想しました。

※「m^n」とは、mのn乗の事とします。

これは正しいですか?
自分でも証明してみたんですが、いまいち信じられないので…

・もし正しければ(この予想が定理ならば)、

イ. 勉強不足でお恥ずかしいですが、この定理はありふれたものですか?
もしそうなら定理の名称や証明した人の名前を教えてください。

ロ. 私の証明は除算の余りに鳩の巣原理を適用したものですが、
それ以外の証明法があれば、教えてください。

・もし正しくなければ、

ハ. 反例を教えてください。

●質問者: くろょ
●カテゴリ:学習・教育 科学・統計資料
✍キーワード:いまいち 勉強 原理 名前 名称
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 4/4件

▽最新の回答へ

1 ● ecp
●10ポイント

おそらく、「ハ」 なのではないかと思います。

m = 2 のとき、成り立たなそうです。


m = 2 のとき

m と互いに素な任意の数 k は必ず奇数である。


n = 1 のとき m ^ (n - 1) = 2 ^ (1 - 1) = 1 である。

これは 1 のみで割り切れるが、 k > 1 なのでNG


n > 2 のとき、m ^ (n - 1) は 2以外の素因数を含まない。

k は必ず奇数なので、k では割り切れないためNG

※ k に何を掛けても、2以外の素因数を含んでしまう


m = 2 のとき、全ての n において条件を満たす k は存在しない。

つまり、どのように k を選んでも条件を満たす n は存在しない。


となります。

自信ないですが、多分間違っていないと思います。。

◎質問者からの返答

ごめんなさい、勘違いされているようですが、

「m^(n-1)」

ではなく、

「m^n-1」

ですよ。


2 ● natu??BZG?
●0ポイント

そういうのは大人の私でもわかりませんよ??

◎質問者からの返答

わかる範囲で結構ですよ。


3 ● rsc
●20ポイント

m^n-1=(m-1){m^(n-1)+m^(n-2)+・・・+m+1}と因数分解できるから割り切れる、じゃ駄目でしょうか。(^_^;

mをxに変えると、x^n?1。これなら、見覚えあるはず。(^_^;

●TETRA'S MATH | 因数分解から等比数列へ

http://math.artet.net/?eid=845803

◎質問者からの返答

本質的には、その右側の因数がkで割り切れるようにnを決定できるかという問題なのですが…

できれば、コメント欄で補足していただけないでしょうか。


4 ● akagi_paon
●60ポイント ベストアンサー

オイラーの定理

http://www2.cc.niigata-u.ac.jp/~takeuchi/tbasic/BackGround/Euler...

オイラーは n がオイラー関数で表せることまで示してますね。

しかも証明も簡単。

オイラーすげえ。マジぱねえ。

◎質問者からの返答

ありがとうございます。

まさしくこれです。

(…俺、不勉強すぎるorz)

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