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微分の問題です。

「y=xの2乗」のグラフにおいて, x=1のときの平均変化率が2となるらしいのですが、
なぜでしょう?

個人的には,1だと思うのですが。2になる理由を説明してください。

●質問者: Vacuum
●カテゴリ:コンピュータ 科学・統計資料
✍キーワード:グラフ 微分
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 4/4件

▽最新の回答へ

1 ● sami624
●23ポイント

仮に簡単化のため、x=1の地点の変化率ではなく、x=1とx=0,x=0.5,x=0.9,x=2.1,x=2.5,x=3と言う2点間の変化率を求めた場合、x=0と1の場合はxが1増えてyも1増えるので変化率は1。x=0.5と1の場合はxが0.5増えてyが0.75増えるので変化率は1.5。x=0.9と1の場合は同様に1.9xが0.1yが0.19増えるため。

x=1と2の場合はxが1増えてyが3増えるので変化率は3。x=1と1.5の場合は、xが0.5yが1.25増えるので変化率は2.5。x=1と1.1の場合はxが0.1でyが0.21なので2.1。それぞれの平均を取るとx=1の時の変化率は2となります。

変化率の幅を1近辺で小さくしていくと1→1.5→1.9と3→2.5→2.1と限りなく2に近づくためそうなります。


2 ● taku0208
●23ポイント

y=x^2の平均変化率は、xがaからa+hに変化したときに、yがどれだけ変化するかを表したものです。

つまり、

x=aのときy=a^2

x=a+hのときy=(a+h)^2なので、

平均変化率は

{(a+h)^2-a^2}/h=(a^2+2ah+h^2-a^2)/h=2a+h

となります。

いま、a=1とすると平均変化率は、

2+h

となります。


微分値と平均変化率とを混同されているようですが、

平均変化率は、2+hで表される値です。

ここで増分hを限りなく0に近づけていったときの値が微分値です。

今の場合、2+hのhを0にすると2となります。

つまり、y=x^2のx=1における微分値は2となります。

(ちなみに、y=x^2の微分dy/dx=2xです。)


3 ● ootatmt
●22ポイント

接線の傾きを求めましょう。

http://www.geocities.jp/k27c8_math/math/analysisI/inclination_of...


4 ● JULY
●22ポイント

x が 1 から 1 + d(d は任意の値)に変化したとき、y の値は 1 から (1 + d)2 に変化します。

という事は、変化率は、

\frac{(1+d)^2-1^2}{(1+d)-1}=\frac{1+2d+d^2-1}{1+d-1}=\frac{2d+d^2}{d}=\frac{2d}{d}+\frac{d^2}{d}

となります。

d を限りなく 0 に近づける、つまり、

\lim_{d\to\0}(\frac{2d}{d}+\frac{d^2}{d})

を求める、という事になりますが、こうなれば、

のは、直感的に分かるのではないでしょうか?

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