人力検索はてな
モバイル版を表示しています。PC版はこちら
i-mobile

解析幾何学の単元で出てきたのですが・・・

------------------------------
問:楕円の互いに平行な弦の中点は中心を通る同一直線上にあることを示せ。
------------------------------

という問題で、頭を悩ませております。
あまりにもざっくりとした問題で、どう解けばよいのか・・・(>_<)
解き方をご指導いただければ幸いです。
よろしくお願いします<m(__)m>

●質問者: moon-fondu
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:幾何学
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 5/5件

▽最新の回答へ

1 ● rsc
●100ポイント ベストアンサー

楕円の一般形は、x^2/a^2+y^2/b^2=1ですが、後の計算を楽にするために、両辺にb^2をかけて、

(b^2/a^2)x^2+y^2=b^2

A=b^2/a^2>0, B=b^2>0と置き換えて、楕円の一般形を次のようにおくことにします。

Ax^2+y^2=B・・・?

また、弦がy軸に平行なときは、中点はx軸となって明らかで、弦がx軸に平行なときも中点はy軸となって明らかだから、弦の直線を傾きm≠0、y切片tとして、

y=mx+t・・・?

とおいて調べてみることにします。

??から、yを消去して、

Ax^2+(mx+t)^2=B

∴(A+m^2)x^2+2mtx+(t^2-B)=0・・・?

2交点のx座標をα、βとすると、α、βは2次方程式?の2解であるから、

α+β=-2mt/(A+m^2)

中点Mの座標をM(X,Y)とすると、

X=(α+β)/2=-mt/(A+m^2)・・・?

??から、

Y=mX+t=m{-mt/(A+m^2)}+t={-m^2*t+At+m^2*t}/(A+m^2)=At/(A+m^2)・・・?

?から、

-X/m=t/(A+m^2)・・・?

?から、

Y/A=t/(A+m^2)・・・?

??から、

Y=-(A/m)X

したがって、中点M(X,Y)は、y切片tの値に関係なく常に定直線

Y=-(A/m)X

上にある。

※参考URL

●楕円と直線の関係のちょっとした小手技

http://izumi-math.jp/F_Nakamura/kotewaza/ball/ball.htm

◎質問者からの返答

すいません、すごく初歩的な質問かもしれず、申し訳ないのですが、rsc96074さんのご回答の中で、

--------------------

2交点のx座標をα、βとすると、α、βは2次方程式?の2解であるから、

α+β=-2mt/(A+m^2)

--------------------

となっているのは、どうしてなのでしょうか?

?式を導いた段階で、αとβの解は、判明しているのでしょうか!?

2次方程式の解の公式とかと関係があるのでしょうか・・・お手数おかけしますが、もしよろしければ、再度ご回答いただければ幸いです(>_<)

よろしくお願いします<m(__)m>


2 ● yukimochiduki
●0ポイント

わからないです・・・

私も迷ってます


3 ● imo758
●5ポイント

私なら、楕円の短軸を長軸と同じ長さへ伸ばし、真円にする一次変換を考えます。

真円で考えれば簡単です。

◎質問者からの返答

すいません、全然イメージできなくて・・・「楕円の短軸を長軸と同じ長さへ伸ばし、真円にする一次変換」を、数式でとう表せばよいのやら・・・(>_<)


4 ● syntaxerror
●60ポイント

こんな感じではないでしょうか?


◎質問者からの返答

rsc96074さんのご回答のおかげで「その2個の中点を結ぶ直線は原点を通ることを示す。」の手前までは理解できたのですが・・・結論の、

Y=-(A/m)X

で、つまづいてしまったのですね。

Y=-(A/m)X

が、「常に原点を通る」とは考えられないのです・・・Xが0のときは、Yも0なので原点を通ると思うのですが、Xが1とか2のときは、Yは0を通らないので、常に原点を通るわけではないので、「その2個の中点を結ぶ直線は原点を通る」は成り立たないと思うのですが・・・


5 ● アイルー
●0ポイント

そうゆうのは自分で考えるべきだ

関連質問


●質問をもっと探す●



0.人力検索はてなトップ
8.このページを友達に紹介
9.このページの先頭へ
対応機種一覧
お問い合わせ
ヘルプ/お知らせ
ログイン
無料ユーザー登録
はてなトップ