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解析幾何学の単元で悩んでおります。
添付ファイルの問題なのですが・・・(a)?(e)と、問題が多いので、一つだけでも構いません。
解き方をお教えいただければ幸いです。
よろしくお願いします(>_<)

1279932398
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●質問者: moon-fondu
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:幾何学 添付ファイル
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 1/1件

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1 ● rsc
●60ポイント ベストアンサー

(a)

●[PDF] 4.4 2次曲線と2次曲面 2次曲線と2次曲面 ( , ) 2 F xy ax bxy cy ...

>一般の2次曲線 F(x, y) = ax2 + 2hxy + by2 + 2gx + 2 fy + c = 0 に対して ←3ページ目(右上のページ数で、137)

http://www.c-able.ne.jp/~kjk/la44.pdf

上記PDFのまとめから、

a=9, b=16, c=-34

2h=24∴h=12, 2g=-26∴g=-13, 2f=7∴f=7/2

よって、

 _ ( 9 12 -13)
 A=( 12 16 7/2)
 (-13 7/2 -34)

(b)

 (a)の結果から、
 A=( 9 12)
 (12 16)
よって、固有方程式は、
 |9-λ 12 |=0
 | 12 16-λ|
∴(9-λ)(16-λ)-12^2=0
∴λ=0,25
 それぞれに対する固有ベクトルは、
固有値0に対しては、
 ( 9 12)(x)=(0)より、3x+4y=0∴x/4=-y/3∴tを実数としてt( 4)。
 (12 16)(y) (0) (-3)
一つに決めたいので、大きさが1の単位固有ベクトルを求めると、(1/5)( 4)
 (-3)
固有値25に対しては、同様にして、
 (-16 12)(x)=(0)より、4x-3y=0∴x/3=y/4∴(1/5)(3)
 ( 12 -9)(y) (0) (4)
 よって、T=(1/5)( 4 3)とすると、
 (-3 4)
t
 TAT=(0 0)
 (0 25)
 ちなみに、検算してみると、
t
 TAT=(1/5)(4 -3)( 9 12)(1/5)( 4 3)=(1/25)( 0 0 )( 4 3)=(1/25)(0 0 )=(0 0)
 (3 4)(12 16) (-3 4) (75 100)(-3 4) (0 625) (0 25)

●直交行列による対称行列の対角化(その1)

http://imasen.net/unitary-hermitian001.htm

●固有値と固有ベクトル

http://www16.ocn.ne.jp/~suuri/lecture-seniorbasic/lecturenotes-3...

(c)?

(d)?

※参考URL

http://q.hatena.ne.jp/1271179449

上の参考URLから、

 D=| 9 12|=9*16-12*12=0
 |12 16|
 Δ=| 9 12 -13|=-15625/4=-25^3/4≠0
 | 12 16 7/2|
 |-13 7/2 -34|
 D=0で、Δ≠0だから、放物線でy^2={(2/|a+b|)√[-Δ/(a+b)]}xから、
 y^2={2/|9+16|*√[(25^3/4)/(9+16)]}x
∴y^2=x

※参考URL ←WolframAlphaによるΔの計算結果

http://www.wolframalpha.com/input/?i=det%5B%7B%7B9%2C12%2C-13%7D...

(e)

( 9 12)
(12 16) 
---↓---
( 3 4) ←(9 12)÷3
( 3 4) ←(12 16)÷4
---↓---
( 3 4)
( 0 0) ←(3 4)?(3 4)

∴rank(A)=1

( 9 12 -13 )
( 12 16 7/2 )
(-13 7/2 -34 )
---------↓---------
( 9 12 -13 )
( 0 0 125/6) ←( 24 32 7)-( 9 12 -13)*4/3
( 0 125/6 -475/9) ←(-13 7/2 -34)+( 9 12 -13)*13/9
---------↓---------
( 9 12 -13 )
( 0 125/6 -475/9) ←2行と3行を交換
( 0 0 125/6)
 _
∴rank(A)=3

2次曲線では、DとΔによる分類はよく見ますが、rankによる分類は、(a)の参考URLぐらいしか見つかりませんでした。

※参考URL ←WolframAlphaによる計算結果

http://www.wolframalpha.com/input/?i=matrixrank%5B%7B%7B9%2C12%7...

http://www.wolframalpha.com/input/?i=matrixrank%5B%7B%7B9%2C12%2...

◎質問者からの返答

すごく丁寧に1問ずつお答えてくださり、ありがとうございます(>_<)

(a)は、添付のpdfファイルの公式を使えば解けるのですね。

(b)は、「左上の」と指定されているので、

A=( 9 12)

(12 16)

の場合だけを考えればいいようで。

添付のpdfファイルがすごく参考になりました、「固有値の求め方」「固有ベクトルの求め方」が、詳しく書かれておりました。

そして「直交行列による対称行列の対角化(その1)」を拝見すると、固有値、固有ベクトルを求めてからの「対角化」について説明してあったので、理解できると思ったのですが・・・「固有ベクトル」を求める所で、躓いてしまいまして(;_;)

以前も、

固有値や固有ベクトルの話題

http://q.hatena.ne.jp/1272917770

について学習したはずなのですが・・・なぜでしょうか、上記リンクの、rsc96074さんが「2010-05-05 16:19:41」時に回答してくださった対角化の仕方と、全然違うような印象を持ってしまいまして・・・すいません、全然応用ができなくて。

◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇

・・・

tを実数としてt( 4)。

(-3)

一つに決めたいので、大きさが1の単位固有ベクトルを求めると、(1/5)( 4)

(-3)

・・・

◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇

という箇所では、何が起きているのでしょうか?どうしてtが出てきて、1/5が出てきてるのでしょうか?

すいません、(b)の段階で躓いてしまって・・・

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