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直交行列による対称行列の対角化
http://imasen.net/unitary-hermitian001.htm

について、質問があります。
上記リンク先において、「2.固有ベクトルを求める」という項目があるのですが、ここでどうして、

◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇

・・・ここから、特に|X1|=1となるものを選べば、X1=(1/√2 1/√2)
・・・ここから、特に|X2|=1となるものを選べば、X2=(- 1/√2 1/√2)

◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇

と、なるのでしょうか?
どのように行列を解いたら「X1=(1/√2 1/√2)」や「X2=(- 1/√2 1/√2)」が出てくるのか、その展開過程をご教授いただければ幸いです。
よろしくお願いします(>_<)


●質問者: moon-fondu
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:X1 リンク 固有ベクトル 教授 直交
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 4/4件

▽最新の回答へ

1 ● CoolDriver
●23ポイント

(i) の場合を説明します。

まず、(x, y) を求めると、(x, y) = (1, 1) t ( t :媒介変数) になります。ここまではOKでしょう。


で、|X1| = 1 なので、単位ベクトルを求めればよいので、

X1 = (x, y) / |(x, y)| = (1, 1) t / t√[1^2 + 1^2] = (1, 1) / √2 = (1 / √2, 1/√2)


となります。

(ii) も同じです。

◎質問者からの返答

「|X1| = 1」=「単位ベクトルを求めよ」

という意味なのですか?

知らなかったです!ありがとうございます!


2 ● rsc
●23ポイント ベストアンサー
 ( 1/4 -1/4)(x)=O・・・?
 (-1/4 1/4)(y)

?から、行列をはずして連立方程式で表すと、

1/4x-1/4y=0・・・?

-1/4x+1/4y=0・・・?

連立方程式??は、不定で、比しか求めることが出来ません。

よって、その比を求めると、

?から、

x=y・・・?

?からも、同じ結果を得ます。これから、値は決まらずxとyの比だけがわかります。

?から、

x/1=y/1

∴x:y=1:1・・・?

特に大きさ|X1|=1となるものを選ぶとは、

x^2+y^2=1・・・?

ということ。

連立方程式??から、

2x^2=1

∴x=±1/√[2]・・・?

で、どれか1つ好きな方を選べばいいので、+を選んで

x=y=1/√[2]・・・?

ちなみに、?で、比が求まったら、x:y=1:1

簡便法として、大きさ√[1^2+1^2]=√[2]で割ると簡単に?が得られます。

たとえば、もう一つ例題を出すと、x:y=3:4が得られたとしたら、大きさ√[3^2+4^2]=5だから、

 (x)=(3/5)
 (y) (4/5)

と簡単に求めることが出来ます。

◎質問者からの返答

すいません、対角化以前の、ものすごく初歩的な質問かもしれないんですけど。。。

「特に大きさ|X1|=1となるものを選ぶとは、x^2+y^2=1・・・?」

という箇所で「えっ?」と、疑問に思ってしまいまして。

その当然の前提、の根拠は、いったい何なのでしょうか?

「|X1|=1」が、どうして「x^2+y^2=1」に変換されるのか、疑問でして・・・(>_<)


3 ● m-hinata
●22ポイント

リンク先はぜんぜん読んでません。


(i)k=1/2のときに関しては、

(A-kE)X_1=O

(1/4 -1/4)(x)=(0)

(-1/4 1/4)(y) (0)

( x/4-y/4)=(0)

(-x/4+y/4) (0)

x-y=0,-x+y=0

x=y

ですから、

X_1=(x)

(y)

をx=yを満たすように取りたいわけです。

(x=y=tと置けば、X_1を(t t)をとしたい。)

いま、|X_1|=1、すなわち√(x^2+y^2)=1、すなわちx^2+y^2=1という条件を考えると、

x=yとあわせて、x=y=1/√2またはx=y=-1/√2です。

◎質問者からの返答

すいません、「ですから、」の手前までは理解できたんですけど・・・

X_1=(x)

は、一体何なのでしょうか?アンダーバーは何を意味しているのでしょうか?


4 ● ギコエル
●22ポイント

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/linear_algebra/eigenvalue0.htm

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