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定義域が広がる時の最大値、最小値に関する問題について、質問があります。
問題は、添付画像をご覧いただければ幸いです。
aの値が大きくなると共に、定義域も広くなるみたいですが・・・aが変化する中で、最大値、最小値をどう求めればよいのかイメージできませんでして・・・よろしくお願いします(>_<)

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●質問者: moon-fondu
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:なるみ イメージ 定義 画像
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 3/3件

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1 ● ratbeta
●50ポイント

とりあえず関数y=x^2-4x+5全体のグラフを描いてみてください。

次にaに適当な値(例えばa=1/2,1,2,3)などを代入してみてください。

すると、aの値が変化する(つまり定義域が広くなる)につれて、どの点で最大となったり最小となったりするかが変化していきます。

後は、aの範囲によって変化する最大値をとる点や最小値をとる点を書きだしていけば、答えになります。


以下、簡単な回答です。あくまで概略ですし、間違っていたらすみません。

y=(x-2)^2+1より、yの値はx=2で最小となる。

従って、0<=x<=aの区間では、0<=a<2ならx=aのとき最小、a>=2ならx=2のとき最小。


また、この関数はx=2を軸として対称である。

x=2に対して定義域の端であるx=0と対称なのはx=4である。

0<=a<=4ならx=0のとき最大、a>=4ならx=aのとき最大。


後半の最大値の方についてはまどろっこしい説明をしましたが、わざわざ対称性を考えなくても、グラフを描けば即座に分かると思います。

◎質問者からの返答

ありがとうございます!

どうしてa=4を基準にして考えるのか悩みましたが、グラフを描いて対称性を考えればよいのですね!


2 ● rsc
●100ポイント ベストアンサー

y=x^2-4x+5

∴y=(x-2)^2+1

グラフは(2,1)を頂点とする放物線で、グラフを描くと次のようになります。

http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3Dx%5E2-4x%2B5

(1)グラフから、x=aをスライドさせて調べると、

0<a<4のとき、最大値 5 </p>

a=4のとき、最大値 5

a>4のとき、最大値 f(a)=a^2-4a+5

(2)グラフから、x=aをスライドさせて調べると、

0<a<2のとき、最小値 a^2-4a+5 </p>

a=2のとき、最小値 1

a>2のとき、最小値 1

裏技としては、「最大・最小値は、極値と端の値を比べる」から、

f(0)=5

f(2)=1

f(a)=a^2-4a+5

最大値を求める場合、f(a)とf(0)を比べて、f(a)がf(0)=5以上になる場合があるか調べてみます。

a^2-4a+5≧5

∴a^2-4a≧0

∴a(a-4)≧0

∴a≦0,4≦a

題意より、a>0だから、4≦a

これをヒントにして、場合分けすればいいです。解答を書くときは、「グラフから、」求めたことにします。また、当然、x=aをスライドして確認してみることもお忘れなく。

最小値を求める場合、f(a)とf(2)を比べて、f(a)がf(2)=1以下になる場合があるか調べてみます。

a^2-4a+5≦1

∴a^2-4a+4≦0

∴(a-2)^2≦0

実数なので等号だけが成り立ち、

∴a=2

よって、a=2のときだけf(a)=f(2)となり、f(a)<f(2)となることはありません。それで、定義域に2が含まれるかどうかで場合分けすることになります。

※参考URL

●[PDF] 場合分けの考え方を定着させるためのコンピュータの活用 ? 定義域に ... ←4ページ目以降参照

http://www.tochigi-edu.ed.jp/center/cyosa/cyosakenkyu/kufukaizen...

◎質問者からの返答

ありがとうございます!

すいません、でも待ってください。

0<a<4のときは、x=0およびx=4を含まないので、最大値は5に、ならないのではないでしょうか?</p>


3 ● miharuco
●100ポイント

このような最大値や最小値を考える問題の場合、グラフを書いてみるとわかりやすいと思います。

ペイントで手書きしたので結構いい加減ですが、実際にグラフを書いてみましたのでご覧ください。

[f:id:miharuco:20100816220737:image]

こちらを見ていただけるとわかるとおり、xの値に特に制限がなければ、

この数式の最小値は1、最大値はなし(無限大になるので)ですね。

ここで、xの値に制限を加えた場合、最小値と最大値はどのように変わるか、

というのが問題の趣旨だと思います。

「0≦x≦a」とのことですので、このグラフのy軸より左の部分は無視して構いません。

xの値をどこまでみるかによって、答えを場合わけしていくことになります。

  1. a<2の場合

aが2より小さければ、この数式の最小値はx=aの時のy=a^2-4a+5になります。

また、最大値はx=0のときのy=5ですね。

  1. 2≦a≦4の場合

aが2?4の間なら、この数式の最小値はx=2の時のy=1になります。

この場合も、最大値はx=0のときのy=5ですね。

  1. 4<aの場合

aが4より大きい場合、この数式の最小値はx=2の時のy=1になります。

この場合の最大値は、x=aの時のy=a^2-4a+5ですね。

以上の説明でわかりにくい点があれば、どこがわからなかったか教えてください。

◎質問者からの返答

ありがとうございます!

ちょっとわからない部分がありまして・・・解答を作ってみました。

---------------------------

(1)グラフより、

0<a<4の場合、x=0のときに最大となり、最大値は5</p>

a=4の場合、x=0またはx=4のとき最大となり、最大値は5

a>4の場合、x=aのとき最大となり、最大値はa^2-4a+5

(2)グラフより、

0<a<2の場合、x=aのとき最小となり、最小値はa^2-4a+5</p>

a=2の場合、x=2のとき最小となり、最小値は1

a>2の場合、x=2のとき最小となり、最小値は1

---------------------------

これで問題ないでしょうか?

(1)は「0<a<4の場合、x=0のときに最大となり、最大値は5」、(2)は「a>2の場合、x=2のとき最小となり、最小値は1」が、何か違和感があるのですが・・・

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