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メネラウスの定理と、チェバの定理を使った問題について、質問があります。
久しぶりにこの定理の復習をしようと思って問題に取り組んでみたのですが・・・どうにも答えが出ませんでして(;_;)
問題は2つ(3つ)あります。
添付ファイルを、ご覧いただければ幸いです。
よろしくお願いします(>_<)

1282975566
●拡大する

●質問者: moon-fondu
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:メネラウス 定理 添付ファイル
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 4/4件

▽最新の回答へ

1 ● rsc
●100ポイント ベストアンサー

こちらは参考になるでしょうか。

[4]

メネラウスの定理から、

(CD/DF)(FE/EA)(AB/BC)=1

∴(3/2)(3/(3+2))(AB/BC)=1

∴(9/10)(AB/BC)=1

∴AB/BC=10/9

∴AB:BC=10:9

同様にして、

(ED/DB)(BC/CA)(AF/FE)=1

∴(ED/DB)(9/(9+10))(2/3)=1

∴(ED/DB)(6/19)=1

∴ED/DB=19/6

∴ED:DB=19:6・・・?

∠BDC=∠FDEだから、三角形の面積の公式S=(1/2)bc*Sin[A]から分かるように、

三角形の面積は、同じ角を挟む辺の積に比例します。

∴△BCD:△DEF=BD×DC:FD×DE

=(BD×DC)/(FD×DE)

=(BD/DE)×(DC/FD)・・・?

ここで、?から、

BD/DE=6/19・・・?

また、題意より、

DC/FD=CD/DF=3/2・・・?

??を?に代入して、

△BCD:△DEF=(6/19)×(3/2)

=9/19

=9:19

[5]

(1) チェバの定理より、

(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1

∴(AF/FB)(1/2)(4/3)=1

∴(AF/FB)(2/3)=1

∴AF/FB=3/2

∴AF:FB=3:2

(2)

△AFGと△ABCの底辺の比は、(1)の結果より、

AF:AB=3:(3+2)=3:5

∴AF/AB=3/5・・・?

高さの比は、FG:FCになる。

メネラウスの定理より、

(CG/GF)(FB/BA)(AE/EC)=1

(1)の結果より、FB:BA=2:(2+3)=2:5=2/5

∴(CG/GF)(2/5)(3/4)=1

∴(CG/GF)(2/5)(3/4)=1

∴(CG/GF)(3/10)=1

∴CG/GF=10:3

∴FG:FC=3:(3+10)=3:13

∴FG/FC=3/13・・・?

三角形の面積の公式S=(1/2)×(底辺)×(高さ)より、(三角形の面積)∝(底辺)×(高さ)から、

△AFG:△ABC=AF×FG:AB×FC

=(AF×FG)/(AB×FC)

=(AF/AB)(FG/FC)・・・?

?に??を代入して、

△AFG/△ABC=(3/5)(3/13)=9/65

∴△ABC=(65/9)△AFG

∴△ABC=(65/9)×18[cm^2]

=130[cm^2]

(別解)

△ABCの面積をSとすると、参考URLの「16.等高な三角形の面積比」より、

△ABC:△AFC=(3+2):3=5:3

∴S:△AFC=5:3

∴5△AFC=3S

∴△AFC=(3/5)S・・・?

同様にして、?から

△AFC:△AFG=13:3

∴3△AFC=13△AFG・・・?

これに?を代入して、

3*(3/5)S=13△AFG

∴S=(65/9)△AFG=(65/9)×18[cm^2]

∴S=130[cm^2]

※参考URL

●平面図形の基本性質の確認 ←16,17,18,32,33参照

http://izumi-math.jp/S_Yoshida/matome/sa_heimen.pdf

◎質問者からの返答

遅くなってすいません(>_<)

理解できました!

ありがとうございます(^_^;)


2 ● suppadv
●20ポイント

4

メネラウスの定理なので、

BC/AB × DF/CD × EA/EF=1

となって、BC/AB × 2/3 × 5/3=1

ここから、BC:AB=9:10

BD:DEは同様に、 3/2 × BD/DE × 19/9=1

ここから、BD:DE=6:19

5

チェバの定理なので、

FB/AF × DC/BD × EA/CE=1

FB/AF × 2/1 × 3/4=1

ここから、AF:FB=3:2


AFGが18cm2なので、FGBは底辺の比で12cm2

足して、AGBは30cm2

AGBとAGCの面積比はBD:BCと同じになるので、30cm2と60cm2になる

同様にBGCは40cm2

あわせると130cm2

こんな感じではいかがでしょうか

◎質問者からの返答

ありがとうございます、理解できました!


3 ● 三十四
●30ポイント

あらかじめ伝えておきますと、図は略します。


メネラウスの定理より

CD/DF×EF/EA×AB/BC=1

定義よりCD:CF=3:2

当然、EA=EF+FAなので、EF:FA=3:2よりEF:EA=3:5

よって

CD/DF×EF/EA×AB/BC=3/2×3/5×AB/BC=1

AB/BC=10/9

AB:BC=10:9


同様に、メネラウスの定理より

ED/DB×BC/CA×FA/EF=1

CA=BC+CAなので、AB:BC=10:9よりBC:CA=9:19

よって

ED/DB×BC/CA×FA/EF=ED/DB×9/19×2/3=1

ED/DB=19/6

ED:DB=19:6


△BCDと△DEFの面積比について

点Fから、線分BCに平行になる線を引き、DEとの交点をGとする。

この時、△BCDと△DGFは相似であり、対応するのはCDとDF、BCとGF、BDとDGである(今回は証明略)

CD:CF=3:2より△BCD:△DGF=3^2:2^2=9:4

BD:DG=3:2、BD:ED=6:19よりBD:DG:ED=6:4:19

これより△DGF:△DEF=4:19

合わせて、△BCD:△DGF:△DEF=9:4:19

△BCD:△DEF=9:19


(1)

チェバの定理より

BD/DC×CE/EA×AF/FB=1

定義よりBD:DC=1:2、CE:EA=4:3なので、

BD/DC×CE/EA×AF/FB=1/2×4/3×AF/FB=1

AF/FB=3/2

AF:FB=3:2


(2)

AF:FB=2:3、AB=AF+FBより、AF:AB=2:5なので、△AFG:△ABG=2:5

△ABG=△AFG×5/2=18×5/2=45(cm^2)

△ABG:△ABC=CG:GF

メネラウスの定理より

CG/GF×FB/AF×EA/CE=CG/GF×3/5×3/4=1

CG/GF=9:20

上記より△ABG:△ABC=9:20

△ABC=△ABG×20/9=45×20/9=100(cm^2)

<<

参考:http://club.pep.ne.jp/~asuzui/page11.html

◎質問者からの返答

最後の問題だけ皆様の回答と違うみたいですが・・・理解できました、ありがとうございます!


4 ● idss
●0ポイント

2で答えた方がいいと思います

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