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二項定理の証明問題に頭を悩ませておりまして・・・問題は、添付の画像をご覧いただければ幸いです。よろしくお願いします(>_<)

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●質問者: moon-fondu
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:定理 画像 証明
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 7/7件

▽最新の回答へ

1 ● rsc
●100ポイント ベストアンサー

(1)

公式 nCk=n!/{(n-k)!k!}より、両辺にkをかけて、

k・[nCk]=k・n!/{(n-k)!k!}・・・?

?=n・(n-1)!/{(n-k)!(k-1)!}

ここで、p=n-1,q=k-1とおくと、p-q=n-kだから、

?=n・p!/{(p-q)!q!}

?=n・[pCq]

ここで、p,qをもとにもどすと、

?=n・[n-1Ck-1]

∴k・[nCk]=n・[n-1Ck-1]・・・?

(2)

二項係数の性質も問題では、(1+x)^nの展開式にx=±1を代入するのが定石になっています。

二項定理より、

(1+x)^n=[nC0]+[nC1]x+[nC2]x^2+・・・+[nCk]x^k+・・・+[nCn]x^n・・・?

?で、x=1とおくと、

2^n=[nC0]+[nC1]+[nC2]+・・・+[nCk]+・・・+[nCn]・・・? ←準公式

この公式は、nに関する恒等式になっているので、nの代わりに、n-1を代入しても成り立つ。

2^(n-1)=[n-1C0]+[n-1C1]+[n-1C2]+・・・+[n-1Cn-1]・・・?

これで準備が整ったので、?の結果と?の結果を使って、等式を証明していきます。

?から、問題の等式の左辺の各項ごとに変形すると、

1・[nC1]=n・[n-1C0], 2・[nC2]=n・[n-1C1], 3・[nC3]=n・[n-1C2], ・・・, n・[nCn]=n・[n-1Cn-1]

よって、

lhs(左辺)=n・[n-1C0]+n・[n-1C1]+n・[n-1C2]+・・・+n・[n-1Cn-1]

=n([n-1C0]+[n-1C1]+[n-1C2]+・・・+[n-1Cn-1])・・・?

?に?を代入して、

lhs=n・2^(n-1)=rhs(右辺)

※参考URL

●組合せ

>nCr=n!/{(n-r)!r!}

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/s1combi1.htm

●組合せ (数学)

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B5%84%E5%90%88%E3%81%9B_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)

●二項定理

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E5%AE%9A%E7%90%8...

◎質問者からの返答

ありがとうございます!

でもすいません、ちょっといきなり疑問に思うことがありまして・・・

--------------

k・[nCk]=k・n!/{(n-k)!k!}・・・?

?=n・(n-1)!/{(n-k)!(k-1)!}

--------------

となるのは、どうしてなのでしょうか??がいきなり「n・(n-1)!/{(n-k)!(k-1)!}」になる理由が理解できませんでして・・・ご紹介いただいたリンク先も拝見したのですが・・・度々すいません。

もしよろしければ、再度ご回答いただければ幸いです。

よろしくお願いします<m(__)m>


2 ● Hyperion64
●20ポイント

こんな感じかと。

(1)定義より

k*nCk=k*n!/(n-k)!/k!=n!/(n-k)!/(k-1)!=

n*(n-1)!/(n-k)!/(k-1)!=n*(n-1)!/(n-1-k+1)!/(k-1)!=n*n-1Ck-1

(2)与式に上記の置換えを代入すると

nC1+2*nC2+....+n*nCn=n*n-1C0+n*n-1C1+n*n-1C2+.......+n*n-1Cn-1

=n*(n-1C0+n-1C1+n-1C2+.......+n-1Cn-1)=n*2^(n-1)

ここで次式を使った。^は指数を意味する。

2^s=(1+1)^s=sC0+sC1+sC2+......+sCs

◎質問者からの返答

ありがとうございます!


3 ● わか☆☆
●0ポイント

詳しく言ってください


4 ● わか☆☆
●0ポイント

詳しくお願いします


5 ● わか☆☆
●0ポイント

くう


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