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2^n=[nC0]+[nC1]+[nC2]+・・・+[nCk]+・・・+[nCn]

が、全てのnについて成り立つことを証明したいです。

数学的帰納法がいいのでしょうか?どんな方法があるかについては詳しくないのですが・・・また、「全てのn」と記載してしまいましたが、nは実数、自然数、整数、虚数等、いろいろな場合があると思います。

2^n=[nC0]+[nC1]+[nC2]+・・・+[nCk]+・・・+[nCn]

は、どの数のnだったら成立し、どの数のnだったら成立しないかについても、疑問に思いまして。

よろしくお願いします(>_<)

●質問者: moon-fondu
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:実数 数学的帰納法 整数 自然数 虚数
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 4/4件

▽最新の回答へ

1 ● Silvanus
●20ポイント

数式での証明は、数学が得意などなたかにお任せするとして、

公式が示している意味そのものは何も難しくありません。

---

---

「n個からk個を取り出す」ということ(図A)は、図Bの様に

2分岐が連なった道を通る際に「(取る)をk回通過する」ということに相当します。

nC0+nC1+…+nCnの総和は結局、これらの2分岐の道順の総数になります。

つまり2^nになる訳です。

しかし、nは0か自然数でないとダメだと思うんですけど、違うんでしょうか…。

◎質問者からの返答

ありがとうございます!

二項定理の公式が示している意味については、なんとなくわかったのですが、前回の質問

http://q.hatena.ne.jp/1286642073

で、

◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇

2^n=[nC0]+[nC1]+[nC2]+・・・+[nCk]+・・・+[nCn]

が成り立つとき、

2^(n-1)=[n-1C0]+[n-1C1]+[n-1C2]+・・・+[n-1Cn-1]

も成り立つ。

◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇

理由についてが、よくわからなかったのです・・・すいません、私の質問が悪かったです(>_<)


2 ● rsc
●100ポイント ベストアンサー

あれはちょっとまずい表現だったかも知れませんね。(^_^;

2冊の公式集で確認してみましたが、二項定理は、正の整数=自然数で成り立つようです。

二項定理の証明は、下記URLにもあるようです。

二項定理でa=b=1とおくか、(1+x)^nの展開式でx=1とおくと、問題の等式が簡単に得られます。二項定理をベースにしているので、問題の等式も、適用条件は、同様になるものと思われます。

nが自然数とすれば、n=1のとき、n-1は、0になってしまいますが、その場合でも、

lhs=2^0=1

rhs=[0C0]=1

となって、成り立つようです。

●二項定理

>■二項定理の導出

http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/suuretu/suuretu/henka...

※参考URL

http://d.hatena.ne.jp/rsc96074/20101012 ←前問のまとめ参照

●[PDF] 第15章 確率・統計

>p.496

http://www.h6.dion.ne.jp/~hsbook_a/ch_15.pdf

●公式集 (モノグラフ) [単行本] 矢野 健太郎, 春日 正文

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  • 作者: 矢野 健太郎 春日 正文
  • 出版社/メーカー: 科学新興新社
  • メディア: 単行本

●数学用語小辞典 (ブルーバックス (B-1113)) [新書] クリストファー・クラファム (著), 芹沢 正三 (翻訳)

数学用語小辞典 (ブルーバックス (B-1113))

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  • 作者: クリストファー・クラファム
  • 出版社/メーカー: 講談社
  • メディア: 新書

◎質問者からの返答

ありがとうございます、リンク先、全て拝見させていただきました!

でもやっぱり、

◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇

2^n=[nC0]+[nC1]+[nC2]+・・・+[nCk]+・・・+[nCn]・・・? ←準公式

この公式は、nに関する恒等式になっているので、nの代わりに、n-1を代入しても成り立つ。

2^(n-1)=[n-1C0]+[n-1C1]+[n-1C2]+・・・+[n-1Cn-1]・・・?

◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇

という部分が、疑問に残りまして・・・rsc96074さんが教えてくださった、二項定理の説明に関するページで、

nCr=nCn-r

および、pdf資料の496pにも記載されている、

nCk=nCn-k

については、理解できました。どちらも同じものですよね。

でも、「[nC0]+[nC1]+[nC2]+・・・+[nCk]+・・・+[nCn]=Σ[r=0→n]nCr=2^nが成り立つ時、[n-1C0]+[n-1C1]+[n-1C2]+・・・+[n-1Cn-1]=Σ[r=0→n-1]n-1Cr=2^(n-1)も成り立つ」ことについては、まだ理解できませんでして・・・度々申し訳ないのですが、もしよろしければ、再度お答えいただけると嬉しいです。

よろしくお願いします(>_<)


3 ● bnn
●5ポイント

パスカルの三角形のn段目の合計が2n-1になるというやつです。

(x+y)n = Σnk=0 (nCk)xn-kyk

この場合はx=y=1を使います。


ここを参考に

三角形のn段目、左からk番目の数字は n-1Ck-1で表せて、ページ中間部のaiの部分に使います。

◎質問者からの返答

パスカルの三角形を一般的な数式で表したのが二項定理だと思うのですが、「Σ[r=0→n]nCr=2^n」と、「Σ[r=0→n-1]n-1Cr=2^(n-1)」は、「二項定理同士の関係」なような気がします・・・私自身、まだよく理解できていませんが(>_<)

パスカルの三角形で、「2^nが成り立つとき、2^(n-1)も成り立つこと」は、言えるのでしょうか?


4 ● やまだまや(真優)
●10ポイント

2^n=[nC0]+[nC1]+[nC2]+・・・+[nCk]+・・・+[nCn]

(a+b)^n=[nC0]*a^n+[nC1]*a^(n-1)*b+[nC2]*a^(n-2)*b^2+・・・+[nCk]*a^(n-k)*b^k+・・・+[nCn]*b^nの係数のみを合計した式に他なりませんので

a=1;b=1を代入すれば(1+1)^n=2^nとなり数学的帰納法を使わなくても簡単に(直感的に)分かります。

但し(a+b)^nや2^nの時のnは実数はおろか複素数まで拡張しても成り立ちますが、二項係数([nCk])は使えません。

◎質問者からの返答

rsc96074さんがアップしてくださった方法ですね!

http://d.hatena.ne.jp/rsc96074/20101012

でも、a=1,b=1を代入することに必然性がないというか、「二項定理が成り立つのはnが自然数のとき」ということの証明にはならないと思うのですが・・・。

直感的ではなく、実際に問題に出された時、どういう風に記述すれば正解をいただけるか悩んでおりましたので・・・(^_^;)

二項係数([nCk])が使えない理由も気になりますので、また別の機会に質問したいと思います!

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