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【問1】円周14cmの円が100個入る長方形のうち、最小のものを求めなさい。【問2】問1で求めた長方形に、円周16cmの円は最大でいくつ入るか求めなさい。
(仕事でダンボール箱に筒状にしたカレンダーを詰めている最中に思い浮かんだ疑問です。質問文がいまいちかもしれませんが、意図を読み取って(笑)回答していただけると助かります。)

●質問者: Red-Comet
●カテゴリ:学習・教育 科学・統計資料
✍キーワード:Cm いまいち カレンダー ダンボール 意図
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 3/3件

▽最新の回答へ

1 ● Newswirl
●30ポイント

エクセルでやってみました。

円周14cmの直径は14cm÷πの4.456338cmです。

そこで、A列に1から100までの番号を振ります。これは長方形の縦の円周14cmの円の個数になります。

B列には、A列の番号分の直径の長さ(長方形の縦の長さ)を与えて、C列には100個をA列の円の個数で割り、小数点未満の数を切り捨てた数に直径の長さ(横の長さ)を掛けます。

すなわち、B列とC列の積はA列に依らず、同じ"最小の長方形の面積"が与えられるわけです。

さらに、D列にB列の縦の長さを円周16cmの直径にあたる5.092958cmで割った数の小数点未満を切り捨てた数値を与えて、

同様にして、E列にC列の横の長さを5.092958cmで割り、切り捨てます。

F列は、D列とE列の積を与えます。これが円周16cmの円の入る円の個数になります。

円周14cmの円が縦に7個か14個あるとき、円周16cmの円の個数は最大になります。

その数は、Red-Cometさんの仰るとおり72個となります。

◎質問者からの返答

すごい! 書いてある内容のほとんどがまだ理解できないけどとにかくすごいです!

理論と現実が一致した瞬間ですね・・・。


2 ● ita
●30ポイント ベストアンサー

横幅を固定して、縦をだんだん縮めていった場合に半径1の円を100個入れられる限界をいろいろな幅について最適化問題として近似的に解いてみました。生データを最後に付けておきます。小数点以下2桁のデータはもっと小さくなる可能性があります。小数点以下ずっとあるやつはきっちり詰められて理論限界が分かっているものです。

これらの中で、周囲の長さが最小になるのはRed-Cometさんの計算された 21x17.5884572681199、面積最小はtakejinさん御指摘の通り 41x8.92820323027551 の場合のようです。

幅21の周囲最小の場合に半径16/14の円は最大73個、

f:id:ita:20101117220222p:image

幅41の面積最小の場合に半径16/14の円は最大71個入りました。

f:id:ita:20101117220224p:image

ちなみに正方形に限定すると19.5x19.5まで小さくできました。

f:id:ita:20101117223603p:image

この大きさで半径16/14の円は最大74個入ります。

f:id:ita:20101117223602p:image


# 幅 x 高さ
20.0 19.2
#10 layer
21.0 17.5884572681199
22.0 17.41
23.0 16.58
24.0 15.74
25.0 15.37
#8 layer
26.0 14.1243556529821
27.0 13.96
28.0 13.7
29.0 13.31
30.0 12.38
31.0 12.22
32.0 11.99
33.0 11.77
34.0 10.928203
35.0 10.64
36.0 10.53
37.0 10.37
38.0 10.21
39.0 10.00
40.0 9.73
# 5layer
41.0 8.92820323027551
42.0 8.87
# 4layer
51.0 7.19615242270663

3 ● たけじん
●20ポイント

5列の続きです。

縦 19.89cm 横 91.35cm で最小面積です。

ここに、周囲16cmの円がいくつ入るかです。

直径 5.093cm です。まず横に何個入るかですが、

91.35/5.093=17.936

惜しい、18個は並ばない。17個

縦には、

19.89/5.093=3.905

こっちも惜しい、4個並ばない。3列

では、半分ずらして

17.5個*5.093=89.1275 収まる

4列で、

(1+√3/2*3)*5.093=18.33 収まる

17*4=68個

隙間がありますが、後一個分にはならなそうです。

この長方形では、微妙な直径の増加を吸収できないので、16cmに対しては68個といったところでしょう。

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