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確率という概念に関する質問です。
試行を繰り返せば統計的確率は理論的確率に近づくといういわゆる大数の法則と、
例えばコイン投げを100回して100回連続で「表」が出たあとでも、
次の試行で「表」が出る確率も、「裏」が出る確率もともに1/2である、
という一見矛盾する二つの命題がなぜ矛盾しないのか?ということを何年も考えているのですが未だにわかりません。
教えて下さい

●質問者: BLOG15
●カテゴリ:学習・教育 科学・統計資料
✍キーワード:にわか 命題 大数の法則 概念 理論
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 12/12件

▽最新の回答へ

1 ● うぃんど
●20ポイント

そこに矛盾は存在しません

例えとしては少々違うかもしれませんが「木を見て森を見ず」といったところでしょうか

あるいは「100回という数値が、それが実は極めて一部であるという事実を隠蔽してしまっている」と表すれば伝わるでしょうか

いずれにせよ、一種の数字マジックのようなものです

大数(無量大数の大数)まではいかないまでも沢山の試行のスタートの100回が偶然連続して表であったというだけの話です

確率の世界から言えば100回は大数の極めて一部でしかないということなのですが、

「人は目先にある判りやすい単位をモノサシにしてしまう」傾向にあるため、

100回という数値を「まるで全体であるかのごとくに錯覚を起こし」てしまい、お悩みのようなことになっています

もういちど繰り返しておきます「そこに矛盾は存在しません」


2 ● ragi-jun
●10ポイント

あなたが矛盾と感じている前提がすでに確率的に偏っているため、矛盾となると思われます。

大数の法則は確率的に同様に確からしい現象は(仮想的に)無限の試行において、理論的確率となるというものであって

前述の仮定をいうならば、

1.大数として十分でない試行の回数で大数の法則を用いている

2.コインの裏と表が出る確率が1/2ではない可能性がある

という2点については考察がなされているのでしょうか。

100回やって同じ面がでつづけることがないとは言いませんが(1/2の100乗=約1.2676506 × 10^30ですから1秒に10000回やっても宇宙誕生から今まで一回も起こらない程度ですが)100回続けて出る時点で確率的に同様に確からしいとはとても思えませんし、このあと9900回やって1万回の試行においては1/2になるかもしれないという確率は考慮に入っているのでしょうか。

自然科学における矛盾という言葉はとても厳密に扱われるべきです。

前提が偽なら結論はすべて真となるため前提を検証することで理解が深まると思います。


3 ● Baku7770
●5ポイント

理論が違います。

コインの「表」が出る確率も、「裏」が出る確率もともに1/2であるという前提でコイントスをやっている。

コイントスを100回して100回連続で「表」が出たあとでも、次のトスで「表」が出る確率も、「裏」が出る確率もともに1/2であるとするのか、実はいかさまコインで「表」が出るコインを使っていたのか?

10^30分の1しか起こらない珍しいことが起こり続けただけとするのは古典的確率論。その確率から1/2なのかを検証する確率論をベイズ確率論と言います。

http://www.kogures.com/hitoshi/webtext/stat-bayes/index.html

◎質問者からの返答

今回の質問とベイズ確率論とはあまり関係があるようには思えませんでした。


4 ● inthegroove
●5ポイント

100回連続で表が出たというのは結果であって、次にどっちが出るかというのは未来の話ですよね。

過去100回で表が出た確率は100%ですが、これから表が出る確率は1/2です。

土俵が違います。


5 ● ku__ra__ge
●30ポイント ベストアンサー

コメントで述べられている

100回試行した段階ですべてが「表」だったとしたら、

残りの9900回の試行では、

約100回ぐらいは「裏」の方が「表」よりたくさん出て、

お互いの確率が1/2に近づく

この考えを無意識のうちに真実であると仮定して論理を組み立てていることが、本来矛盾がないことに対して矛盾を感じる原因だと思います。


上の引用部分を「先に偏った結果が出ると後からそれが補填される現象」と呼ぶことにしましょう。


「先に偏った結果が出ると後からそれが補填される現象」と「それぞれの試行が独立事象であるということ」は、確かに矛盾しています。

しかし先に偏った結果が出ると後からそれが補填されるなんて現象は実際には起きませんし、なにより「大数の法則」は「先に偏った結果が出ると後からそれが補填される現象」を説明した言葉はありません。

よって前述の矛盾は、「大数の法則」と「それぞれの試行が独立事象であるということ」が矛盾するという考えの根拠にはなりません。


「大数の法則」を単に「試行を繰り返せば統計的確率は理論的確率に近づく」という意味だときちんと捉えれば、それが「一回一回の試行が独立事象である」と矛盾していないことが理解できるのではないでしょうか?


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