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大数の法則と独立試行は矛盾します!

例えば、次のようなロボットがあると仮定します。
1.10秒に一回、コインを投げる(独立試行)
2.表が出たら停止する。裏なら1に戻る

ある日、あるとき、このロボットのスタートボタンを押しました。
このロボットは確実にいつかは停止すると言えるでしょうか?

「停止する」とすると:独立試行に矛盾
(試行回数をどんなに大きくしても全て裏となる確率が必ず残る)

「停止しない」とすると:大数の法則に矛盾
(大数の法則によって表と裏のバランスがとられ、いつかは表が出る)

この説を論破してください。

参考:http://q.hatena.ne.jp/1290036774

●質問者: akagi_paon
●カテゴリ:学習・教育 科学・統計資料
✍キーワード:スタート バランス ボタン ロボット 大数の法則
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 14/15件

▽最新の回答へ

1 ● まろ
●11ポイント

http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/kakuritu/kakuritu/hen...

より、参照

独立:いくつかの試行があるとする。各々の試行の結果は他の試行の結果に影響を及ぼさないとする。このような試行は独立であるという。

独立試行:お互いに独立な試行を同時あるいは連続というようにひとまとまりとして行うこと。

ここで、質問者様のロボットでいうと、試行を停止するということがあります。

これは、他の試行の結果に影響を及ぼすことになるので

この実験は「独立試行では無い」ということになり

質問者様の意思とは関係なく、矛盾は発生しません。

◎質問者からの返答

もう少し詳しく書いてください。

「独立試行でない」と「矛盾は発生しない」の間には大きな溝があります。

「独立試行でない」で思考が停止しているように見受けられます。


2 ● rsc
●11ポイント

確実に停止します。

独立試行の適用条件を満たしていませんので、独立試行じゃないのでは?

というのは、n回目の結果で、(n+1)回目、振れるかどうか決まってしまうので、思いっきり、影響を与えていて各試行同士が独立していません。

一般に、取った玉を戻さない試行のような不可逆なものには、独立試行は適用できません。(^_^;

◎質問者からの返答

「独立試行でない」→「停止する」の理由がわかりません。

独立試行でないとしても「試行回数をどんなに大きくしても全て裏となる確率が必ず残る」ので停止しないように思います。

それともコイン投げで裏表が出る確率が変わってしまうのでしょうか?


3 ● garyo
●11ポイント

ロボットを動かす時間をt秒とするとロボットが停止しない確率p(t)は p(t)=(1/2)^(t/10)

これは0にはならないが、tを増やせば0に限りなく近づいていきます。

大数の法則で言えば、「tを大きくすると止まる確率は限りなく0に近づく」と言えます。


中心極限定理

X が平均 μ,標準偏差 σ のある分布に従うならば,大きさ n の無作為標本に基づく標本平均X は,n が無限に大きくなるとき,平均μ,標準偏差 σ/√nの正規分布に近づく。


コインをn回投げる、というのを「n個のサンプルを取り出した」と考えると

nが大きくなるほど、標準偏差が小さくなるため、n個のサンプルの平均の分布は収束していくわけですね。

◎質問者からの返答

おっしゃりたいことの意味がよくわかりません。「止まる確率は限りなく0に近づく」ので止まらないということでしょうか?

----

garyo さんからメッセージをいただきました。ありがとうございます。

すみません。上記は誤記でした。

「大数の法則で言えば、「tを大きくすると止まらない確率は限りなく0に近づく」と言えます。」

が正しいです。

つまりtが十分大きければ、ロボットはほぼ停止すると考えて良いことになります。

これに対するコメントですが、私が知りたいのは「ほぼ」停止するとかいうあいまいなことではなくて

「確実に」停止するとしていいかどうかです。


4 ● やまだまや(真優)
●1ポイント

矛盾はしないと思います。質問者は「一面的」な見方しかしてないような気がします。「YES or NO」的な考え方ですね。

個々の問題への当てはめは「ケースbyケース」という事も有りますよ。

◎質問者からの返答

矛盾しない理由を説明してください。

----

YAMADAMAY さんからメッセージをいただきました。

すみません、誤って?2度送信したようです。

2つ目は、同じ内容ですので開かないようにお願いいたします。

了解です。


5 ● Lhankor_Mhy
●31ポイント

停止すると思います。

せっかくの思考実験なのでもっと贅沢に行きましょう。コイントスロボの性能を上げて、1回目のコイントスは0.5秒、2回目のコイントスは0.25秒……、n回目のコイントスは(1/2)^n秒で行うようにします。さらにコイントスロボを大量生産して無限台用意しましょう。

さて、この無限台のコイントスロボを起動させて1秒後、コイントスをまだ続けているロボはいるでしょうか?

いないですよね? そういうわけで、コイントスロボは必ず停止します。

さて、「独立試行に矛盾」ですが、これは矛盾しないと思います。

もし、矛盾するとなると、

1回試行して全てが裏の確率……1/2 ← 矛盾しない

2回試行して全てが裏の確率……1/4 ← 矛盾しない

3回試行して全てが裏の確率……1/8 ← 矛盾しない

n回試行して全てが裏の確率……(1/2)^n ← 矛盾しない

∞回試行して全てが裏の確率……0 ← 矛盾する!

ということになりますが、どこかの瞬間で「矛盾しない」から「矛盾する!」に切り替わるのでしょうか? 違いますよね。∞であるときだけですよね。∞とは数字ではなく、ある意味演算方法ですから。

結局、前提である「試行回数をどんなに大きくしても全て裏となる確率が必ず残る」が間違っているということでしょう。「試行回数をどんなに大きくしても(有限回数ならば)全て裏となる確率が必ず残る」が正しい、ということではないのでしょうか。

◎質問者からの返答

これにはちょっといまのところ反論が思いつきません。


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