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角の2等分線の性質を用いた長さおよび比を求める問題について、質問があります。
(1)の問題は、CD=2/3だと思うのですが、(2)と(3)はどう導けばよいのか頭を悩ませておりまして・・・よろしくお願いします(>_<)

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●質問者: moon-fondu
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:CD
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 4/4件

▽最新の回答へ

1 ● rsc
●80ポイント

(1)△ABCにおいて、ADは∠Aの2等分線であるから、AB:AC=BD:DC

∴6/4=4/CD

∴6CD=16

∴CD=8/3

(2)△ABCにおいて、APは∠Aの外角の2等分線であるから、AB:AC=BP:PC

∴4/3=(3+CP)/CP

∴4CP=3(3+CP)

∴CP=9

(3)ACとBIの延長線の交点をEとすると、

△ABCにおいて、ADは∠Aの2等分線であるから、AB:AC=BD:DC

∴BD:DC=7:8

∴DB:BC=7:(7+8)

∴DB/BC=7/15・・・?

同様に、△BCAにおいて、BEは∠Bの2等分線であるから、BC:BA=CE:EA

∴CE:EA=9:7

∴CE/EA=9/7・・・?

メネラウスの定理から、

(AI/ID)(DB/BC)(CE/EA)=1・・・?

???から、

(AI/ID)(7/15)(9/7)=1

∴AI/ID=5/3

∴AI:ID=5:3

●角の二等分線の性質を狩る [PDF]

http://izumi-math.jp/F_Nakamura/toubun/toubun.pdf

●高等学校数学A 平面図形 - Wikibooks

>三角形の角の2等分線と辺の比

>三角形の外角の2等分線と辺の比

http://ja.wikibooks.org/wiki/%E9%AB%98%E7%AD%89%E5%AD%A6%E6%A0%A...

●チェバの定理メラニウスの定理は双子の定理

http://club.pep.ne.jp/~asuzui/page11.html

◎質問者からの返答

遅くなってすいません、ありがとうございます!

理解できました!!


2 ● おじやしげき
●5ポイント

(3)は、まず∠BACの二等分線の関係からBDの長さがわかります。

そこで、∠ABDの二等分線の関係からAI:IDの比率がわかります。

(2)は、三角形ABCにおいて、辺APは∠Aの外角の二等分線なので、三角形の角の二等分線に関する公式2(外角に関する公式)

を用いれば解けます。

これで解けると思いますので、頑張ってといてみてください。

◎質問者からの返答

ありがとうございます。


3 ● はぴすぃ714
●90ポイント

「角の2等分線の定理」

△ABCにおいて、∠Aの2等分線とBCの交点をDとするとき、

BD:DC=AB:AC

http://yosshy.sansu.org/theorem/kaku2tobun.htm


「外角2等分線定理」

△ABCで∠Aの外角の2等分線とBCの延長線との交点をDとするとき、

BD:DC=AB:AC

http://kurihara.sansu.org/theory/kaku2bun2.html

この2つの定理を使って解きます。



(1)

「角の2等分線の定理」より、

BD:DC=AB:AC

分かる長さを代入して、

4 :DC= 6 : 4

よって、DC=8/3


(2)

「外角2等分線定理」より、

BP:PC=AB:AC

BP×AC=PC×AB

(BC+PC)×AC=PC×AB


分かる長さを代入して、

( 3 +PC)× 3 =PC× 4

9 + 3PC =4PC

PC =9



(3)

△ABCに対して「角の2等分線の定理」より、

BD : DC =AB:AC

BD :(9?BD)=AB:AC

BD×AC = (9?BD)×AB


分かる長さを代入して、

BD× 8 = (9?BD)× 7

8BD = 63?7BD

15BD = 63

BD = 21/5


△ABDに対して「角の2等分線の定理」より、

AI:ID = AB:BD

分かる長さを代入して、

AI:ID = 7 :21/5

= 5 : 3



もしミスがあったら指摘してください。

◎質問者からの返答

ありがとうございます、理解できました!


4 ● otenki8
●100ポイント ベストアンサー

◆まず(1)ですが、一度解きなおしましょう。

下記公式を用います。

http://kurihara.sansu.org/theory/kaku2bun.html

すると、

AB:AC = BD:DC (?)

AB=6,AC=4,BD=4 を代入し、

6:4 = 4:DC

これを計算すると、

6CD = 16

CD = 16 / 6 = 8/3 (答え)

です。

◆(2)について

下記公式を用います。

http://kurihara.sansu.org/theory/kaku2bun2.html

すると、

AB:AC = BP:CP (?)

ここで、BP = BC + CP ですので、

(?)は

AB:AC =(BC+CP): CP

となります。

AB=4, AC=3, BC=3 を代入し、

4:3 =(3+CP): CP

これを計算すると、

4CP = 3(3+CP)

4CP = 9+3CP

CP = 9 (答え)

です。

◆(3)

#この問題は、(1)の組み合わせで解けます。

#まず、三角形を時計回りに90度回してみると、ヒントがつかめると思います。

△BDAに着目して、

BD:BA = DI:AI (?と同じ意味)

→この右辺がこの問題と同じです。すなわち、

AI : ID = BA : BD (?)

# BA=7 ですので、BD が求められればこの問題が解けます。

ここで、図形を元の位置に戻してみると、

△ABCについて、

AB:AC = BD:DC (?)

AB=7, AC=8 ですので、

7:8 = BD:DC (?)

になります。

さらに、DC = BC - BD = 9 - BD なので、(?)に代入し、

7:8 = BD:(9 - BD)

8BD = 7(9-BD)

15BD = 63

BD = 63/15 = 21/5 (?)

さあ、答えまでもう少しです。

(?)で求めた値と、BA=7 を(?)に代入し、

AI : ID = 7 : 21/5

= 35 : 21

= 5 : 3 (答え)

です。

以上、長文失礼いたしました。

◎質問者からの返答

ありがとうございます!



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