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掛け算は交換法則を満たし割り算は交換法則を満たさないのであれば
掛け算と割り算は違うものであり、掛け算を割り算にしたり、割り算を掛け算にしてはいけないということになりませんか?
掛け算と割り算が同じものであるならば、掛け算は交換法則を満たしていないということでは?
A/BにおいてBが0の場合を不定とするならば対応する乗算においても不定になるA*Bが存在するということです。

> 割り算をかけ算にするときは、“かける数”の分母と分子を逆転させます。
> 6÷3 をかけ算にすると 6×(1/3) です。
> どちらも答えは2ですね。
> これに関して、割り算をかけ算にすれば交換法則が成り立ちます。

a / b を掛け算にすると a * (1 / b)ということですね。
1 / b を掛け算にすると 1 * (1 / b)ということですね。
おかしいですね。1 / bが永遠に解決できません。

●質問者: MoonWolf
●カテゴリ:科学・統計資料
✍キーワード:分子 存在 対応 永遠に 法則
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 4/4件

▽最新の回答へ

1 ● practicalscheme
●23ポイント ベストアンサー

http://q.hatena.ne.jp/1304487720 からの流れを何となく踏まえて回答します。

(1) 「掛け算と割り算は違うものであり、掛け算を割り算にしたり、割り算を掛け算にしてはいけないということになりませんか?」

もちろん掛け算と割り算は違うものです。但し、両者にはある関係があります (関係というよりほとんど定義ですが)。


A×B=C かつ B≠0 ならば、 C/B=A

C/B=A ならば、 A×B=C (B=0のときC/Bは定義されないので、考慮する必要なし)


この関係を前提にして、式を変形させることはできます。


もう少し正確に言うと、Bに掛けると1(乗法の単位元)となる数 B' が存在する場合、つまり B × B' = 1 となるような B' が存在する場合に、B'をBの逆元といい、

A × B = C より

A × B × B' = C × B'

A × 1 = C × B' (B × B' = 1 より)

A = C × B' (乗法の単位元の定義より)

となるので、「Bの逆元を掛ける」ことを「Bで割る」と呼んでいると考えられます。


「B'が存在する場合」という但し書きをつけましたが、存在しない場合は当然逆元を掛けることはできず、従ってBで割ることはできません。

整数や実数や複素数の世界では、0だけが、逆元が存在しない数です。

でも、別の数の定義を使うと、0以外にも逆元が存在しない数がある場合もあります。例えば行列の演算なら、0行列以外にも逆元が存在しない行列(非正則行列)は無数にあります。行列の世界では、Bが非正則行列ならば割り算は定義できない、ということになります。


余談ですが、交換法則を満たさない掛け算、というのもあります。行列の乗算もそうですね。掛け算が交換法則を満たさなくても、逆元を掛ける方向を間違えなければ上のように割り算を定義することができます。


(2) 「掛け算と割り算が同じものであるならば、掛け算は交換法則を満たしていないということでは?」

掛け算と割り算は同じものではないので、この問いは無意味です。

なお上の関係を見れば、「掛け算における乗数と被乗数の交換」が「割り算における除数と被除数の交換」とは対応していないことがわかります。もし除算が交換可能であれば、 C/B = A から B/C = Aが導けちゃいますが (C≠0とする)。すると二番目の関係よりA×C = Bが導けてしまいます。最初はA×B = Cだったんで、これはまずいですね。ですから、「定義により」割り算は交換法則を満たすことはできないんです。


(3) 「A/BにおいてBが0の場合を不定とするならば対応する乗算においても不定になるA*Bが存在するということです。」

乗算と除算は1対1対応するものではなく、「定義により」乗算は存在するのに対応する除算が計算できない、というケースがあります。除算が計算できないからといって、対応する乗算も計算できなきゃおかしい、なんてことはありません。そういう定義なんですから。


掛け算と割り算を違うように定義することによって、完全に1対1対応が取れるような世界を作ることができるかもしれません。

ちなみに、「要素がひとつだけの環」という世界では0の逆元が0になり、0で割ることが可能です。0/0=0になります。とはいっても他にできる計算は0x0=0とか0+0=0とか0-0=0だけなんで、あんまり面白い世界ではないです。


(4) 「おかしいですね。1 / bが永遠に解決できません。」

1/b というのが、上の定義で述べた「bの逆元」に相当します。そこは計算をそれ以上進める式ではなく、「b × b' = 1 なる b' を、 1/b と書いているのだ」と考えます。もちろんb=0の時は逆元が存在しない、つまり「1/bなる数」は存在しない、ということになります。

◎質問者からの返答

掛け算を割り算にできるのならば、その表現に割り算が現れたばあい、永遠に割り算を掛け算にすることになり、解決できません。


2 ● 狸吉
●23ポイント

>1 / b を掛け算にすると 1 * (1 / b)ということですね。

>おかしいですね。1 / bが永遠に解決できません。

これはおかしくないですよ

例)

x^2=(x^3)/x=(x^4)/(x^2)

どこもおかしくないですよね


>不定になるA*Bが存在するということです。

A×∞=∞

コレもありうる計算だと思います


3 ● quintia
●22ポイント

質問は2つに分けられます。

掛け算は交換法則を満たし割り算は交換法則を満たさないのであれば

掛け算と割り算は違うものであり、掛け算を割り算にしたり、割り算を掛け算にしてはいけないということになりませんか?

掛け算と割り算が同じものであるならば、掛け算は交換法則を満たしていないということでは?

と、

A/BにおいてBが0の場合を不定とするならば対応する乗算においても不定になるA*Bが存在するということです。

の2つです。


前者の部分を足し算引き算に変更してみると、

足し算は交換法則を満たし引き算は交換法則を満たさないのであれば

足し算と引き算は違うものであり、足し算を引き算にしたり、足し算を引き算にしてはいけないということになりませんか?

足し算と引き算が同じものであるならば、足し算は交換法則を満たしていないということでは?

となり、同じ形、同じ疑問になります。逆演算という考え方に対する一般的な質問なのですね。

足し算引き算には0割を許さない、とかそんなものはないわけなので、A/BにおいてBが0の場合云々という部分は、それよりも前の部分と関係がない話と言えます。


割り算(引き算)を掛け算(割り算)に変更する時、あるいはその逆のやり方はこうです。

  1. 演算子を逆にする。 ×→÷,÷→×,+→-, -→+
  2. 演算子の右側を演算の逆元にする。×←→÷の交換なら掛け算に対する逆元に、+←→-の交換なら足し算に対する逆元にする。

逆元にするのが常に右側でなければならないことが問題です(右側なのは、元々の割り算(引き算)の計算順序がそうだから、というだけの理由です。どこかに割り算(引き算)の式の順序を逆にする世界があったとしたら、上記の操作で"左側を逆元にする"に変わるだけです。なんで右側でなければならないの? という疑問に意味はありません)。

掛け算(足し算)が交換法則を満たしていても、逆演算にする操作の中に、上記のように「演算子の片側にだけ何かする」というのが含まれる以上、割り算(引き算)は交換法則を満たさなくなります。

掛け算(足し算)が交換法則を満たす→逆演算の割り算(引き算)が交換法則を満たさない

は当たり前な話です。「ある演算が交換法則を満たしていたら、逆演算も交換法則を満たすはず」というのがただの勘違いです。


逆元の話。

a / b を掛け算にすると a * (1 / b) ということですね。

その通りです。さて、1 / b って割り算でしょうか? 割り算にしか見えませんね。

誰がどう見ても割り算です。

でも違います。

一見割り算に見えるけど、これは割り算じゃないんだ、割り算じゃないんだ、と念じて目をこらさないといけません。

というか、a / b を掛け算として定義したいというのが「目的」なのですから、掛け算だけの世界だと思わないといけません。割り算? それって何? 知らないなぁ、という態度を貫きます。


b × ? = 1 を満たす数が存在するとしよう。存在するかどうかは、また別の話で、じっくり考えてみないといけない問題なのだけど、とりあえず存在したとしたら、それを 1 / b と書こう。なんだか小学校の時にならった分数みたいな書き方だけど、そんなものは今は知らない(ふりをしよう)。

そういう数があるとしたら、掛け算はどういう性質を持つんだろう?

そこが考えどころだ。

(という感じで、色々と検証してみる)

あれ?

これはなんだか、小学校の時からずっと習ってきた「割り算」にそっくりな性質を持ってないか?


という態度で進むのです。

これ、数学になじみのない人から見ると、ただの茶番に見えるんじゃないかと思います。

だって割り算にそっくりな性質を持つように考えたわけですからね。

a / b を掛け算にすると a * (1 / b)ということですね。

1 / b を掛け算にすると 1 * (1 / b)ということですね。

おかしいですね。1 / bが永遠に解決できません。

掛け算を割り算に直す、割り算を掛け算に直す、という理解(あるいは解釈)のままだとその通り永遠に堂々巡りですね。

その時に数学がとるのは、「割り算というものを忘れる」という一種なんだそりゃ? と言いたくなる手段なのです。

でもそれでうまくいっているのですよ。


残った

A/BにおいてBが0の場合を不定とするならば対応する乗算においても不定になるA*Bが存在するということです。

なんですが……「ある演算が交換法則を満たしていたら、逆演算も交換法則を満たすはず」というのがただの勘違いなので、そんなものが存在する必要はありません。という以上にうまい言葉が見つかりません。すみませんが。

◎質問者からの返答

A/Bが割り算による表現を持たない掛け算のみの式に変換できれば、結果は不定ではなくて一定になるということです。

A/BのBが0を取ったとしても掛け算に変換した式では一定なのだから計算できるということになります。


4 ● practicalscheme
●22ポイント

> A/Bが割り算による表現を持たない掛け算のみの式に変換できれば、


通常の定義であれば、割り算と掛け算は「無条件に」変換できるわけではなく、「Bの逆元B'が存在する時に限り」 A/B => A*B' という変換ができます。「A/BのBが0を取ったとしても」というのはこの条件に反する (0の逆元は存在しない) ため、変換自体ができません。(というか通常は掛け算が先にあってそこから割り算が定義されるので、B=0の時にはそもそもA/Bが定義されないんですが)



そういう条件がついているのは美しくないから、俺が新しい定義を考える、というのは大いに結構です。が、単に条件を外すだけでは、「A/BのBが0を取ったとしても掛け算に変換した式では一定なのだから計算できるということになります。」という具合に困ったことになりますね。moonwolfさんは、「俺が決めた新しいルールではこういう問題が出るよ。ほら、おかしいだろ?」と仰っています。我々は「はいおかしいですね。で?」としか言えません。おかしいことになるから除外してあるんです。



新しい定義として、「Bの逆元がB'の時、 A/B = A*B'とする。但し、B=0の場合は、A/0 = A とする」などと決めても構いません。その場合、moonwolfさんが仰るようにA*0を特別扱いしないとならないことになりそうで、しかもA*0というのは乗算の定義の根本に関わる式なので (0というのは乗算の単位元、A*0 = 0*A = 0 なる数としても定義される)、なんか色々無理が出てきそうですが。それらの無理をどう解消するかというのはmoonwolfさんの世界の話ですので、どうぞご自由に。

◎質問者からの返答

0*1と1*0が同じ値であるというのがそもそも違っていたら?

0*0が0でなかったら?

0を扱う掛け算が正確に定義できていないのです。

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