人力検索はてな
モバイル版を表示しています。PC版はこちら
i-mobile

1+1=2であると論理的に証明してください。
そう定義しているからというのは証明ではありません。

●質問者: MoonWolf
●カテゴリ:科学・統計資料
✍キーワード:いるか 定義 証明 論理
○ 状態 :キャンセル
└ 回答数 : 9/9件

▽最新の回答へ

1 ● practicalscheme

何だかおもしろくなってきました。

証明とは何でしょうか。

(1) まず最初に、「何の証明も要らずに事実として使えることがら」を決めます (「公理」と言います。) 公理は無前提の定義なので、証明せずとも成り立ってしまっているものです。ただし、唯一絶対の公理というものは無くて、自分の好きなように決めて構いません。ですが一般的な公理でないものを使う場合は、そのことをあらかじめはっきり言っておく必要があります。

(2) つぎに、「こういうことが言えたなら、こういうことが言える」というルールを決めます (「推論規則」と言います)。代表的なものとして、「AならばB」かつ「BならばC」ならば「AならばC」と言える (いわゆる三段論法) があります。この推論規則も、唯一絶対の規則というのはなくて、いろいろな選び方があります。例えば「『Aの否定』の否定」は「A」である、という規則を認める場合と、認めない場合があります。これまた、一般的でない推論規則を使うなら、あらかじめはっきり言っておく必要があります。

(3) 真か偽かで答えられる文 (「命題」と言います) を持ってきて、公理から出発して推論規則をひとつづつ当てはめてゆくことで、命題にまでたどり着けたら、それを「証明」と言います。




さて、「1+1=2」の証明ですが、まず公理系を決めないとなりません。何の断りもなくぽんとこういう問題を出されたら、普通は「自然数の公理系」を考えると思います。

まず、自然数とは何か、の定義です。以下の性質を満たすものを自然数と呼ぶことにします。

(a) 0は自然数である

(b) 自然数nが存在すると、その「次の数」succ(n)が存在し、それもまた自然数である。

(c) 0はどんな自然数の「次の数」でもない。

(d) 自然数a, bがa≠bであるとき、succ(a)≠succ(b)である。

(e) ある命題が0について成り立ち、また「その命題がnについて成り立つならば、その命題はsucc(n)についても成り立つ」ならば、その命題は全ての自然数について成り立つ。

つまり、自然数とは0, succ(0), succ(succ(0)), succ(succ(succ(succ(...(0)....)))) などの集まりになります。ただ、いちいちsucc succと書くのは面倒なので、いくつか名前をつけておきます。

(f) succ(0)を1と呼ぶ

(g) succ(1)を2と呼ぶ

これらは単に名前をつけただけで、計算しているのではないことに注意してください。



つぎに、足し算+を定義します。

(h) n + 1 = succ(n) である。

(i) succ(n + m) = n + succ(m) である。

このルールを満たすものを足し算と呼ぼう、というわけです。このルールと、自然数の定義から、交換法則や分配法則は導けます。

ここまで、succ(n)が具体的に何か、とか、足し算の意味は何か、といったことを一切扱っていないことに注意してください。どういう意味づけをするかにかかわらず、こういう公理系というルールの上で考えましょう、ということです。



おっと、「等しい」について何も言っていませんでした。ちょっと逆戻りしますが、等しさについて次の性質を認めます。

(j) a = b かつ b = c ならば a = c

(k) a ≠ b かつ b = c ならば a ≠ c

(l) 常に、a = b か a ≠ b のどちらか一方のみが成り立つ



では1 + 1 = 2を証明します。

(h)から、1 + 1 = succ(1)

(f)から、succ(1) = 2

(j)から、1 + 1 = 2 (証明終)




もしこの証明にmoonwolfさんが納得できないのであれば、次のどれでしょう。

(A) 足し算の定義に納得いかない。

(B) 自然数の定義に納得いかない。

(C) 等しさの定義に納得いかない。

(C) 「公理と推論規則から命題を導くことを証明という」という定義が納得いかない。

前にも言ったように、定義というのは自分の好きなように決めて構いません。なので、今ある定義に納得がいかないから新しい定義を作る、というのはOKです。でも、何も言わずに始めたらみんなは「普通の定義を使っているだろう」と思うので、途中で「納得いかないから変える」と言い出すのは無しです。納得いかない、変えたいのであれば、最初に「ここでは私は足し算をこう定義する」「自然数をこう定義する」と断ってから、「この公理系で 1+1=2を証明してください」などと言ってください。それが最低限の礼儀です。

もちろん、1+1の答えは、どういう定義を採用するかによって異なってきます。ブール代数の世界では 1+1=1 でおかしなことは無いですし、「2を法とする剰余系」では 1+1=0 になります。上の証明を見て、「いや私の考えていた定義は普通の定義じゃなくてこれなんだ、だから上の証明はおかしい」などと後から言い出すのは無しですよ。定義が違えば答えが違うのは当然なんですから。


2 ● garyo

自然数の定義(ペアノの公理)


1. 自然数 0 が存在する。

2. 任意の自然数 a にはその後者 (successor)、suc(a) が存在する(suc(a) は a + 1 の "意味")。

3. 0 はいかなる自然数の後者でもない(0 より前の自然数は存在しない)。

4. 異なる自然数は異なる後者を持つ:a ≠ b のとき suc(a) ≠ suc(b) となる。

5. 0 がある性質を満たし、a がある性質を満たせばその後者 suc(a) もその性質を満たすとき、すべての自然数はその性質を満たす。


簡単に言えば、「自然数は0から始まって次々と数がつながっているもので、その中に同じ物は存在しない」


0→0の次の数→(0の次の数)の次の数→((0の次の数)の次の数)の次の数→・・・


これが自然数で


0の次の数→1と名づける …1)

(0の次の数)の次の数→2と名づける …2)


これで「2」が定義される。

足し算の定義


1. すべての自然数 a に対して、a + 0 = a 、

2. すべての自然数 a, b に対して、a + suc(b) = suc(a + b) 。


※suc(0) := 1 と定義するならば、suc(b) = suc(b + 0) = b + suc(0) = b + 1 となり、b の後者とは単に b + 1 のことである。


混乱するので足し算を「+」でなく「☆」で表してみると


3) a ☆ 0 = a


4) a ☆ (bの次) = (a ☆ b)の次


この2つが足し算の定義


【証明】


証明に必要なのは以下


1) 0の次=1 (1の定義)

2) 1の次=2 (2の定義)

3) a ☆ 0 = a

4) a ☆ (bの次) = (a ☆ b)の次 (これは a+(b+1)=(a+b)+1という意味)


1 ☆ 1 = 1 ☆ (0の次) …1)1の定義より

= (1 ☆ 0)の次 …4)より 1 ☆ (0の次)=(1 ☆ 0)の次

= (1)の次 …1)より なぜなら 1 ☆ 0 = 1

= 2 …2)より 2の定義は 1の次


これで1+1=2が証明できました


3 ● rsc

こちらは参考になるでしょうか。数学はそういう当たり前のこと(基礎)が一番難しい。(^_^;

●くろべえ: 1+1=2 の証明

http://kurobe3463.blogspot.com/2004/11/proof.html

●自然数

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0

※参考URL

http://q.hatena.ne.jp/1104994770

http://okwave.jp/qa/q217225.html

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1011667...

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1453524...

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1112610...


4 ● 勇者よっしー

1個の碁石を用意します。そして、そこにもう1個の碁石を加えます。

すると、2個の碁石になりました。

1たす1は、2です。

以上。


5 ● グレ

0と自然数の集合をMとする。

1 0はMの元である。

2 nがMの任意の元であれば、その後継(successor)と呼ばれるsnc(n)がだた1つMに存在る。

3 後継が0になるような元はMに存在しない。

4 Mの任意の元mとnに対して、m≠nならば、suc(m)≠suc(n)

5 Mの部分集合Aが0を含み、nを含めば、suc(n)も含むとき、A=Mである。(数学的帰納法)

そこで、証明するための準備として

公理には定数記号が0しか明記されていないので、定数記号を下記のように定義する。

1=suc(0)

2=suc(suc(0))

3=suc(suc(suc(0)))

公理5よりMにおいて、加法が下記のように定義出来る。

定義1 Mの任意に元aに対して、a+0=0+a=a つまり、0を加法に関する単位元とする。

定義2 suc(a)+b=a+suc(b)=suc(a+b)

上記のようにMにおいて、加法を定義すると、Mの任意の元aの後継はa+1になる。

何故ならば、定義1より、suc(a)=suc(a+0)、定義2より、suc(a+0)=a+suc(0)=a+1

したがって、suc(a)=a+1・・・・?

そこで、「1+1=2」の証明

?において、a=1とすると、suc(1)=1+1・・・・?

1=suc(0)であるから、suc(1)=suc(suc(0))=2・・・・・?

しただって、??より

1+1=2


1-5件表示/9件
4.前の5件|次5件6.
関連質問


●質問をもっと探す●



0.人力検索はてなトップ
8.このページを友達に紹介
9.このページの先頭へ
対応機種一覧
お問い合わせ
ヘルプ/お知らせ
ログイン
無料ユーザー登録
はてなトップ