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数学の問題です。
「0°<θ<45°のとき、sinθ<cosθであることを証明せよ」という問題で頭を抱えています。
なんとなくsin0°=0、sin45°=1/√2で、cos0°=1、cos45°=1/√2なのは、 http://www8.plala.or.jp/ap2/suugaku/sankakukansuunoshoho.html等のリンクを参考にして思い出せたのですが、いざ文章として解答を書くとなると、どういうふうに証明文を展開していけばよいか悩んでおりまして・・・いきなり単位円を書いて、

0°<θ<45°のとき、
sinθの値の範囲は、0<sinθ<1/√2
cosθの値の範囲は、1/√2<cosθ<1

よって、sinθ<cosθ

で、よいのでしょうか?
何か足りない気がするのですが・・・いちいち証明する必要もないぐらい有名なことだと思うのですが、もっと詳しく証明できるのであれば、その証明方法をお教えいただきたいです。
よろしくお願いします。

●質問者: moon-fondu
●カテゴリ:学習・教育
✍キーワード:cos sin なのは リンク 単位
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 5/5件

▽最新の回答へ

1 ● km1981
●50ポイント

いきなり答えを書いてもいいと思うのですが

もし心配だったらこうすればいいと思います

0°<θ<45°のとき、

sinθの値の範囲は、0<sinθ<1/√2

cosθの値の範囲は、1/√2<cosθ<1

すなわち

0<sinθ<1/√2<cosθ<1

よって

sinθ<cosθ

が成立する

◎質問者からの返答

ありがとうございます、詳しくてわかりやすいです!


2 ● Lhankor_Mhy
●20ポイント

sinx<cosx

sinx-cosx<0

sinx-sin(x+pi/2)<0

2cos{(2x+pi/2)/2}sin{(x-x-pi/2)/2)}<0

2cos(x+pi/4)sin(-pi/4)<0

cos(x+pi/4)>0

これは0<x<pi/4で成り立つ。

追記:分かりづらいので、Texで書き直し。

sin(x)<cos(x)

sin(x)-cos(x)<0

sin(x)-sin(x+¥frac{¥pi}{2})<0

2cos(¥frac{x+x+¥frac{¥pi}{2}}{2})sin(¥frac{x-x-¥frac{¥pi}{2}}{2}))<0

2cos(x+¥frac{¥pi}{4})sin(-¥frac{¥pi}{4})<0

cos(x+¥frac{¥pi}{4})>0

これは0<x<¥frac{¥pi}{4}で成り立つ。

ラジアン角が分からない場合は、2π=360°と考えて下さい。

◎質問者からの返答

「pi」とは何なのでしょうか?

また、cosχがsin(χ+π/2)になるのもよくわかりませんでして・・・(>_<)


3 ● mirakurutoshiki
●0ポイント

でも上のふたりともどっ

ちがあってるかわかりませんよ

たぶん僕も個上の人とおなじ答えだったので1個上の人があってるとおもいます。


4 ● rsc
●100ポイント ベストアンサー

不等式の証明ときたら、まず、(左辺)?(右辺)を考えます。チャート式のチャートや指針をよくよむと方針が立てやすくなります。

他のやり方もありますが、たとえば、

(左辺)?(右辺)=sin[θ]?cos[θ]

=√[2]sin[θ-45°] ∵三角関数の合成公式

t=θ-45°とおくと、0°<θ<45°のとき、-45°<t<0°で、単位円から、

√[2]sin[t]<0

∴(左辺)?(右辺)<0

∴(左辺)<(右辺)

よって、0°<θ<45°のとき、

sin[θ]<cos[θ]

※参考URL

●三角関数の合成公式

http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sankakukansuu/kahouteiri/henkan-tex.cgi?target=/math/category/sankakukansuu/kahouteiri/gouseikousiki.html

◎質問者からの返答

ありがとうございます!

rscさんのご回答を参考に、詳しく書いてみました。

sinθ?cosθ

=sinθ+(?cosθ)

=√{1^2+(?1)^2}sin(θ?α)∵三角関数の合成公式

=√2sin(θ?α)

cosα=1/√{1^2+(?1)^2}=1/√2,

sinα=?1/√{1^2+(?1)^2}=?1/√2を満たすαは・・・

45°なのですよね?

√[2]sin[θ-45°]

になるということは。

ですがα=45°のとき、sinαもcosαも正の値を取ると思うので、sinα=?1/√2になるのはおかしい気がしまして・・・すみませんが、もしよろしければ、合成公式を用いた時のαの出し方について、再度ご回答いただけますでしょうか?

よろしくお願いします(>_<)


5 ● mnt
●5ポイント

単位円 のグラフを書いておくとか。

0°<θ<45°では、x2 + y2 = 1について0<y/x<1

※y/xはy=axの傾きなのでこれとの接点を考えると分かりやすいです

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