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高校数学
問題 http://f.hatena.ne.jp/massa-will/20110909111011
解答 http://f.hatena.ne.jp/massa-will/20110909111009
質問 http://f.hatena.ne.jp/massa-will/20110909111010
よろしくお願いします。

●質問者: massa-will
●カテゴリ:学習・教育 科学・統計資料
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 2/2件

▽最新の回答へ

1 ● jan8
●80ポイント ベストアンサー

解説の途中で定義された

¥vec{PQ}

¥vec{PR}

の成分は、正四面体の三辺で構成された斜交座標上のベクトルです。

直交座標の各座標軸が直角で交わっているのに対し、

上記斜交座標の各座標軸は60度で交わっています。

今計算された

¥vec{PQ} ¥cdot ¥vec{PR}

の値(1/6)は、この斜交座標上で定義された内積としては正しいですが、

そこからPQRの角度を求めても、上記斜交座標上の角度になってしまい、

直交座標からみると異なる(歪んだ)角度となります。

◎質問者からの返答

ありがとうございます。

回答への質問ですが、どうして斜交座標だと駄目なのかがまだよくわかりません。

角が歪んでしまうというのもよくわかりません。お手数ですが、教えてください。


2 ● maeko_map
●20ポイント

内積の定義は

¥vec{p}¥vec{q} = |p| |q| cosθ (θは¥vec{p},¥vec{q}のなす角)

です。


ここで、¥vec{p}=(p1,p2)、¥vec{b}=(q1,q2)とおきます。

¥vec{a},¥vec{b}で張られる座標を考えると、

¥vec{p}=p1¥vec{a}+p2¥vec{b}

¥vec{q}=q1¥vec{a}+q2¥vec{b}と書けます。


¥vec{p}¥vec{q}

= (p1¥vec{a}+p2¥vec{b})・(q1¥vec{a}+q2¥vec{b})

=p1・q1¥vec{a}¥vec{a}+p1・q2¥vec{a}¥vec{b}+p2・q1¥vec{b}¥vec{a}+p2・q2¥vec{b}¥vec{b}

=p1・q1+(p1・q2+p2・q1)¥vec{a}¥vec{b}+p2・q2 (∵¥vec{a},¥vec{b}は単位ベクトルなので、¥vec{a}¥vec{a}=¥vec{b}¥vec{b}=1)


ここで、 ¥vec{a},¥vec{b}で張られる座標が直交座標系なら、

定義より、¥vec{a}¥vec{b}=|a| |b| cos90°=0となり、

¥vec{p}¥vec{q}=p1・q1+q2・q2の公式が使えます。


しかし、斜交座標系なら¥vec{a}¥vec{b}≠0(∵cosθ≠0)なので、その公式が使えません。


蛇足ですが、この問題は3次元なので、定義に従って、3次元の場合を考えると、

¥vec{p}¥vec{q}

=p1・q1+p2・q2+p3・q3+(p1・q2+p2・q1)¥vec{a}¥vec{b}+(p2・q3+p3・q2)¥vec{b}¥vec{c}+(p3・q1+p1・q3)¥vec{c}¥vec{a}


¥vec{PQ}=(-1/2,1/6,0),¥vec{PR}=(-1/2,-1/2,1/4)を代入して

¥vec{PQ}¥vec{PR}=5/24(∵正四面体なので、cosθ=60°)

となり、正しい答えが導けます。


つまり、成分による計算は、2次元の場合だと¥vec{a}¥vec{b}=0となる系のみで有効です。よって、直交座標系では有効です。ただ、他に¥vec{a}¥vec{b}=0となる系があるかはわかりませんので、直交座標系でのみ有効と言いきることはできません。

◎質問者からの返答

ありがとうございます。

回答を読みますと、つまり、成分による計算は直交座標でのみ有効なのだ、

ということですか?度々ですみませんが、念のために確認させてください。

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