・The KMPlayer
⇒ The KMPlayer - k本的に無料ソフト・フリーソフト
こんな感じでタスクバーに納まるサイズまで縮小できます。(ウインドー中段の「↓」アイコンで)
デフォルトで最前面表示になっているので移動させればタスクバー上に納まります。
「ワンクリックで10?15秒ほど巻き戻したり早送り」ですが
クリックではなくキーボードの「←」「→」キーで任意の秒数を設定しスキップ操作可能です。
≪設定≫ ⇒ KMPlayerの巻き戻し機能の設定変更
基本操作などは以下サイトが良さそうです。
・KMPlayer のダウンロード・使い方 - フリーソフト100
・KMPlayer:無料動画プレイヤーKMPlayerの使い方説明
・キーボードで Windows を操作する KMPlayerのキーボード操作
あっ、タスクトレイですね。
条件合わないようでしたら別のもの探します。