質問者さんのﾌﾟﾛﾌｨｰﾙによると､現在大阪在住との事なので大阪駅(地下鉄梅田･西梅田･東梅田駅)の詳しい説明は省きます｡

大阪駅から鶴橋駅まで行くﾙｰﾄとしては､JR大阪環状線(外回り)と大阪市営地下鉄の2つがあります｡
(JR桜島方面行きは大阪環状線内回りになるので､内回りで鶴橋に行くのは反対回りになります｡)

大阪市営地下鉄･JR大阪環状線路線図(Yahooﾄﾗﾍﾞﾙより)

JR環状線でのﾙｰﾄ

JR大阪駅→大阪環状線･外回り(京橋･鶴橋･天王寺方面)→JR鶴橋駅(運賃170円･所要時間15分)

大阪市営地下鉄でのﾙｰﾄ

1. 地下鉄梅田駅→御堂筋線(天王寺･なかもず方面)→難波駅→千日前線(南巽方面)→鶴橋駅(運賃230円･所要時間20分)
2. 地下鉄東梅田駅→谷町線(天王寺･文の里･八尾南方面)→谷町九丁目駅→千日前線(南巽方面)→鶴橋駅(運賃230円･所要時間20分)
3. 地下鉄西梅田駅→四ﾂ橋線(難波･住之江公園方面)→難波駅→千日前線(南巽方面)→鶴橋駅(運賃230円･所要時間20分)

いずれのﾙｰﾄも大阪駅(地下鉄梅田･西梅田･東梅田駅)15?20分で鶴橋駅まで行く事ができます｡
単純に運賃と乗り換えの手間を考えれば､JR大阪環状線･外回りで鶴橋駅まで向かうのが一番安くかつ早く着きます｡

阪急沿線にお住まいであれば､JR大阪駅の他､地下鉄梅田駅から御堂筋線､地下鉄東梅田駅から谷町線に乗るのが便利です｡
阪神沿線にお住まいであれば､地下鉄西梅田駅から四つ橋線に乗るのが便利です｡
(その他に､JR北新地駅からJR東西線で京橋駅経由･大阪環状線外回りのﾙｰﾄもありますが､乗り換えに時間がかかります｡)

参考HP

･JR大阪駅構内図(JRおでかけﾈｯﾄ)
･大阪市営地下鉄梅田駅構内図(大阪市交通局)
･大阪市営地下鉄東梅田駅構内図(大阪市交通局)
･大阪市営地下鉄西梅田駅構内図(大阪市交通局)

大阪駅･梅田駅地上付近図(大阪市交通局)