ｸﾗｲｱﾝﾄが保持している Cookie 自体は､ﾄﾞﾒｲﾝ名が同じで､有効期限内なら､ｻｰﾊﾞへ送られてきます｡
Cookie(ｸｯｷｰ) - Networkｷｰﾜｰﾄﾞ：ITpro

ただ､その Cookie を使ってｾｯｼｮﾝ ID をｸﾗｲｱﾝﾄに送り､ｾｯｼｮﾝ情報をｻｰﾊﾞに保存している､というのであれば､その情報を適切に移行させる必要があります｡
[ThinkIT] 第8回：Cookieとｾｯｼｮﾝ情報 (1/3)

具体的に､ｻｰﾊﾞ側のどこにｾｯｼｮﾝ情報が保存されているかは､perl の CGI ﾌﾟﾛｸﾞﾗﾑであれば､そのﾌﾟﾛｸﾞﾗﾑ次第ですし､PHP であれば php.ini の session.save_path で指定されたﾊﾟｽにﾌｧｲﾙとして置かれます｡また､ｾｯｼｮﾝﾃﾞｰﾀを MySQL などのﾃﾞｰﾀﾍﾞｰｽに保存する､というものもあるので､千差万別です｡