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非ユークリッド空間を含む 直角の定義を おしえてください。

●質問者: 心は萌え
●カテゴリ:科学・統計資料
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 2/2件

▽最新の回答へ

1 ● oil999
●50ポイント

非ユークリッド幾何学における曲面を含め、平面角における直角は弧度法で定義されます。

すなわち、平面上に半径1の円Oがあるとき、その円周上に二点A、Bを弧ABの長さが半径とおなじ長さ1になるようにとります。このとき、OA、OBをつないでできる角∠AOBを1ラジアンと定義します。直角はπ/2ラジアンと定義します。
http://www.s-yamaga.jp/nanimono/sonota/kodoho.htm


心は萌えさんのコメント
ということは、非ユークリッド幾何学においてもその非ユークリッド平面における直角は 90度 という事なのでしょうか?

心は萌えさんのコメント
ラジアンのほうが変化するんですね。

oil999さんのコメント
>非ユークリッド幾何学においてもその非ユークリッド平面における直角は 90度 という事なのでしょうか? そういうことです。 >ラジアンのほうが変化するんですね。 ラジアンは一定で、弧の長さが平面の場合に比べて変化します。

2 ● holoholobird
●50ポイント ベストアンサー

http://en.wikipedia.org/wiki/Non-Euclidean_geometry
非ユークリッド空間の定義に則るのならば、曲面状の任意の3点をA,B,Pとする。
点AとP、BとPを結んだ直線を表す単位ベクトルをPA、PBとする。
この直線上の点を実数k,mを用いてkPA、mPBと表す。
この2ベクトルの内積をCとする。
もしもkとmを十分に0に近づけたとき、C=0となるならば、角APBは直角であると定義する。


心は萌えさんのコメント
えーっと それを言われると 非ユークリッド空間の内積の式がユークリッド空間と同じかを聞かないといけませんが kPA・mPB=|kPA|x|mPB|・cosθ=0 とするのであれば kmが0でないならば、cosθ=0ですから θ=π/2ラジアン が必要最小限の回答となり oil999 さんと同じ事を より難しく言っただけ という事でしょうか? 内積をどのように定義されました?

holoholobirdさんのコメント
>非ユークリッド空間の内積の式がユークリッド空間と同じかを聞かないといけませんが >oil999 さんと同じ事を より難しく言っただけという事でしょうか? ぜんぜん違います。ユークリッド空間では説明できない空間を非ユークリッド空間と呼ぶので、1の回答そのものが間違いです。 座標系を導入することで複雑になってしまう幾何計算を、しかるべき内積を定義することで効率よく計算するのがベクトル空間の威力なので、幾何を語る時にはベクトル空間と内積をを持って説明しなければいけません。 幾何は計量ベクトル空間の内積の定義を置き換えて解釈するのが普通なので、この場合の内積は非ユークリッド空間に則ったものになります。 したがって、使用するのは通常の標準内席ではなく一般内積になります。 http://mikity.wikidot.com/inner-product 1の回答やあなたのコメントは、標準内積の特殊な場合(曲率が0のときのみ)という例外の場合です。 一般内積を0とするような条件をそろえることが、ユークリッド空間、非ユークリッド空間双方における直角の条件となります。

holoholobirdさんのコメント
追記です。 解答は、 非ユークリッド空間、ユークリッド空間を含む空間での直角とは、内積として一般内積を定義したベクトル空間について、任意の2つのベクトルの内積が0となることが必要十分条件である。 という定義を柔らかく説明したものです。

心は萌えさんのコメント
逆説的ですが・・・法線という物を知っているので・・・定義の順番が逆ですが 線分ABの上の点Pの法線とベクトルが一致する 線分PC が作る角度 CPB が直角である。ということで、 なんとなく理解しました。 そういう時に使う計算式なんですね・・・ありがとうございます。
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