メアド、パス、IDなど、他のサイト等への登録情報は相手側にも保存されており、自分のpcを新しくしても(初期化でも新品でも中古でも)同じ登録情報を入力してやれば以前と同じように使えます。(銀行などの場合はもう一手順必要だったりしますが、関係ないですよね?)
外部のpc、友人やネットカフェからでも同様です。
ただし、pcにはパスワードなどが保存されますので、絶対に安全と分かっている方法やpc以外での接続は避けた方が無難です(特にネカフェは、打ったキーの履歴をハッキングされる可能性さえある)
友人の場合は、悪ければなりすまし、善意であってもその友人自身のログインが面倒になったりしますので、パスが必要なサイトなどには入らないようにして下さい。
また、初期化した場合は、機器構成やプロバイダによってはネットに入るだけでも登録情報が必要になる場合もあります。
初期化して、id登録のところでidを持ってる方とか出てくるのでパスワードとid(又はメアド)を入れてそうすりゃログイン的な状態になります