以下､位置が可変の円を円O､その中心を点O､位置が固定の円を円P､その中心を点P とします｡
^ は､二乗の記号です｡

まず､円P (x - 16)^2 + (y - 9)^2 = 81 がどこにあるかを考えます｡
第一象限に全体が入っていて､x軸にだけ接していて､y軸からは離れています｡

次に､円O の位置を考えます｡
x軸とy軸に接するということは､中心が y = x もしくは､y = -x の直線上にあるということです｡
点O が第二象限､第三象限にある場合には､円O と円P が接することが無いので､除外します｡

まず､円O が第一象限にある場合｡
円O の式は､こうなります｡

(x - r)^2 + (y - r)^2 = r^2

更に､二つの円が互いに外接する場合と､円O が円P を内包する (円P が円O に内接する) 場合の二つで考えます｡
まず､二つの円が互いに外接する場合｡


二つの円の中心の距離を考えます｡

(r - 16)^2 + (r - 9)^2 = (r + 9)^2

左辺が中心の座標から求めた距離で､右辺は互いの半径を足したものです｡
これを解いていけば､

r^2 - 32r + 16^2 + r^2 - 18r + 9^2 = r^2 + 18r + 9^2
r^2 - 68r + 16^2 = 0
(r - 4) (r - 64) = 0

で､r = 4, 64 が求まります｡

次に､円O が円P を内包する場合です｡


先程と同じように､二つの円の中心の距離を考えます｡

(r - 16)^2 + (r - 9)^2 = (r - 9)^2

今度は右辺が､半径の差になりますね｡
(r - 9)^2 が共通なので､こっちは簡単に解けます =)

(r - 16)^2 = 0

で､r = 16 が求まります｡

次は､第四象限に円O がある場合です｡
円O の式はこうなります｡

(x - r)^2 + (y + r)^2 = r^2

これは､互いに外接する場合だけを考えれば OK です｡
もう､分かりますよね｡

(r - 16)^2 + (-r - 9)^2 = (r + 9)^2
(r - 16)^2 + (r + 9)^2 = (r + 9)^2
(r - 16)^2 = 0
r = 16

です｡

で､円O が 円P に外接するﾊﾟﾀｰﾝは四つあって､半径の組合せは(重複があるので)r = 4, 16, 64 になります｡