具体的な構造が分からないのでいくつか可能性を。
ワイヤー固着。
ワイヤーの中に埃などが入って行き、徐々に動きがしぶくなります。外して、crc556などを吹き込みます。
オイルを差す場合は物に注意。固めのオイルだとそれが埃を吸って逆効果になります。エンジンオイルでは固すぎ。もっと柔らかい機械油を少量差すか、もしくはcrcだけの方が無難です。潤滑の耐久性は落ちるので、比較的頻繁(数ヶ月に1回とか)にcrcを注油します。
ブレーキ機構の固着。
ブレーキの可動部、軸などにやはり埃などが付着してしぶくなる事も多いです。お手軽にcrcでごまかすか、分解、清掃、注油をします。こちらは普通の注油で大丈夫でしょう。
状況によってはグリスも使います。
調整不良。
ネジの締め付け具合によってはかえって動かなくなります。
ある程度緩めでなければならない部分と、きちんと締め付ける部分があります。締め付けると言っても自転車ですからせいぜい数kg/mでしょう。締めすぎても壊れます。締め付けトルクのコツをつかむには年季が必要。沢山壊してコツをつかむか、素直にトルクレンチを使いましょう。