can はｽﾊﾟｯと｢出来る｣に対して､
be able to は｢その方法を知っているし､使うことも出来る｣となんとも回りくどい


｢君は泳げるかい？｣と訊かれて､
｢私は泳ぎ方を知っているし､その方法を使える｣と答えるﾔﾂはうっとうしいよね
だからこの場合は･･･ can

｢これは可能か？｣と訊かれて､
｢出来る｣と言い切ってしまっても良いですが､
回りくどく｢実現は可能｣って答えておいたほうが無難な場合も多い
だからこの場合は･･･ be able to

日本語ではどちらも｢?できる｣と表現できるので意識して区別する必要がありますが､英語を母語とする人々は自然に使い分けているようです｡
canは｢可能性｣を表し､｢(実際にできるかどうかはわからないが)?する能力がある｣という意味を持ちます｡一方ableは｢実際可能｣を表し､｢(実際に)?することができる｣という意味です｡この区別は過去形において特にはっきりします｡couldは婉曲･推量の意味を帯び､｢?することができたのに(しなかった)｣という意味であるのに対し､was able toは｢?することができた(実際にそうした)｣という意味になります｡
高校英語までであれば以上のような使い分けで十分だと思います｡

be able toには､できる能力があることを強調したいときに主に使いますが､canのほうは､今までの回答者の方も指摘するように､広範囲に使用されるみたいです｡

You can take this. (これもってっていいよ)｢できる｣という軽い意味で､日常的に使われます｡

You are able to take this.でも､be able toになると､｢もっていく資格がある｣というようなﾆｭｱﾝｽになり､かなりｼﾘｱｽな雰囲気がでます｡

使うｼﾁｭｴｰｼｮﾝでも違ってくるので､なかなか使い分けは難しいですよね｡

can は可能性､ be able to は能力､というのが
一番しっくりくると思います｡

ｶｼﾞｭｱﾙな会話で be able to を聞く機会はあまりないですが､
飛行機で非常口のある席に座ると､必ずこういう質問をされます：
Are you able and willing to assist during the unlikely event of an evacuation?
(非常の際に手助けする能力と意思があるか？)

これの答えとして Yes とはっきり言わないと､席を替えられてしまいます｡
OK とか I can とか曖昧に言って､駄目出しされる人もいました｡

出来ると思う､じゃなくて､きちんと能力と意思を確認するために､
わざわざこういう言い回しをしてるんでしょうね｡