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数学の問題で質問があります。

0<a<bのとき、、√b-a(√はb-aに掛かってます)と √b?√aではどちらが大きいか。

途中式なども書いてくださると嬉しいです。 よろしくおねがいします。

●質問者: naotokio2
●カテゴリ:学習・教育
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 2/2件

▽最新の回答へ

1 ● Lhankor_Mhy

sqrt{b-a} ¥leq sqrt{b}-sqrt{a}
とであると仮定すると、題意より両辺とも正の数である。

両辺を二乗して
b-a ¥leq b-2sqrt{ab}+a
sqrt{ab} ¥leq a

さらに両辺を二乗して
ab ¥leq a^2
b ¥leq a

これは題意と矛盾するので
sqrt{b-a} > sqrt{b}-sqrt{a}


2 ● hissssa

まず、X>Y>0のとき、X^2>Y^2です。よって、¥sqrt{b-a}¥sqrt{b}-¥sqrt{a}の大小比較は、¥sqrt{b-a}^2(¥sqrt{b}-¥sqrt{a})^2の大小比較に置き換えられます。
大小比較とは両者の差分が0より大きいか否かでもありますので、以下の式が0より大きいか否かが解となります。
¥sqrt{b-a}^2 -(¥sqrt{b}-¥sqrt{a})^2
さて、¥sqrt{b-a}^2=b-aであり、(¥sqrt{b}-¥sqrt{a})^2=b-2¥sqrt{ab}+aです。よって、上記式は以下のように変形できます。
=b-a -(b-2¥sqrt{ab}+a)
=-2a +2¥sqrt{ab}
=2(¥sqrt{ab}-a)
ここで前提を適用します。0<a<bの時、¥sqrt{ab}>aですので、2(¥sqrt{ab}-a)>0です。
よって、以下の式が成立します。
¥sqrt{b-a}^2 -(¥sqrt{b}-¥sqrt{a})^2>0
¥sqrt{b-a}^2 >(¥sqrt{b}-¥sqrt{a})^2

これにより、¥sqrt{b-a}>¥sqrt{b}-¥sqrt{a}であると結論付けられます。

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