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高校数学についての質問です。

数学で最近因数分解をやっております。因数分解の中でも、たすきがけというやり方が苦手です。先生が言うには、できるかできないかは、運しだいというのですが、本当にそうなのでしょうか?

また、たすきがけ以外の方法で、9x^2-12xy+4y^2 (^2は2乗をあらわします。)このような問題を因数分解する方法はないのですか?数学はある程度得意なので、難しい方法でもいいので、知っていましたら教えてくださるとうれしいです。


●質問者: marcy
●カテゴリ:学習・教育
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 5/5件

▽最新の回答へ

1 ● 多食斎友好=世田介

2次式や3次式ならば「根の公式」から導けば、「試行錯誤」や「運しだいという」事は有りません。


多食斎友好=世田介さんのコメント
せんせいの「運しだいという」のは、きっと生徒の瞬発発想力を鋭くする為のジョークです。

marcyさんのコメント
なるほど、ありがとうございます。運以外ではどんなやり方があるかも、しりたいです。お勧めのとき方とかありませんか?

多食斎友好=世田介さんのコメント
上記の方法です!!!、それ以外はモット「数学を勉強して」「感を磨くこと」これは先生の言葉と大差ない!!

多食斎友好=世田介さんのコメント
a-kuma3さんの2度の援助回答を受けましたので、回答者さんはかなり理解しているだろうと思います。LhanKor_Mhyさんのニュートン法や2分割法は、コンピュータを使うのは適していますが、手で計算するには計算量が膨大です。それに解が無い(すり抜ける)場合や、出るのは近似値なので無理数は正確には求められないし、虚数解(虚根)は出ません。さて、「運以外ではどんなやり方があるかも、しりたいです。お勧めのとき方とかありませんか?」は上でかいた、貴方が数学を(表面的でなく)もっと勉強する事ですが、近道として「因数分解公式」覚え使いこなす事ではないですか。簡単な式だけ書きますので、応用を利かせてください。 1:a^2-b^2=(a+b)(a-b) 2:a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab;b^2) 3:a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) 4:a^4+b^4=(a^2+√2ab+b^2)(a^2-√2ab+b^2) 5: a^n-b^n=(a-b)(a^(n-1)+a^(n-2)b+...+ab^(n-2)+b^(n-1) (n:正整数) 6: a^n-b^n=(a+b)(a^(n-1)-a^(n-2)b+...+ab^(n-2)-b^(n-1) (n:偶数) 7: a^n+b^n=(a;b)(a^(n-1)+a^(n-2)b+...-ab^(n-2)+b^(n-1) (n:奇数) 8:a^2+2ab+b^2=(a+b)^2 a^2-2ab+b^2=(a-b)^2 9:a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=(a+b)^3 a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=(a-b)^3 10:(a+b)^2-4ab=(a-b)^2 (a-b)^2+4ab=(a+b)^2 11:x^2+8(a+b)x;ab=(x+a)(x+b) 12:a^2+b^2+c^2;2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^2 13:a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-bc-ca-ab)=(1/2)(a+b+c)((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2) 14:a^4+(a^2)(b^2)+b^4=(a^2+ab+b^2) 15:x^3+(a+b+c)x^2+(bc+ca+ab)x+abc=(x+a)(x+b)(x+c) 16:(ax+by)^2+(ay-by)^2=(ax-by)^2+(ay+by)^2=(a^2+b^2)(x^2+y^2) 17:(ax+by)^2-(ay-by)^2=(ax-by)^2-(ay+by)^2=(a^2-b^2)(x^2-y^2) 18:a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)+2abc=(a+b)(b+c)(c+a) 19:(a+b+c)(bc+ca+ab)-abc=(b+c)(c+a)(a+b) 20:(b+c)(c+a)(a+b)+abc=:(a+b+c)(bc+ca+ab) 21:(a+b+c)^3-(a^3+b^3+c^3)=3(b+c)(c+a)(a+b) 22:(b-c)^3+(c-a)^3+(a-b)^3=3(b-c)(c-a)(a-b) 23:(a^2-bc)-(b^2-ca)(c^2-ab)=a(a^2+b^2+c^2-3abc) 24:a^4+b^4+c^4-2b^2c^2-2c^2a^2-2a^2b^2=-(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a;b-c) 25:a^2+b^2+c^2+bc(b+c)+ca(c+a)+ab(a+b)=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2) 26:(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)=5(b+c)(c+a)(a+b)(a^2+b^2+c^2+bc+ca+b+ab) 27:a^4(b-c)+b^4(c-a)+c^4(a-b)=-(b-c)(c-a)(a-b)(a^2+b^2+c^2+bc+ca+ac) 位ですが。簡単な式を使い、組み合わせながら、じっくり式を整理していけば、おのずと答えはでます。(因数分解できない式は、いつまでやっても出ません。) 式を打ち間違えているところがあるかもしれませんので、参考書などで「因数分解公式」で調べてください。

多食斎友好=世田介さんのコメント
もう一つ注意すべきは、「因数分解」どのレベルまでやるかと言う事です。 整数、有理数、無理数、虚数まで・・・ 例えば x^2+1等の因数をそこでやめるか、虚数まで因数分解するか。 それによって因数分解が進められるかどうかは「運」でなく、その人の知識(数学力)での判断となります、例えばax+by+czは1つの因数と考えそこでとめるのが妥当。 高次式だけでなく多元式にも気をつけるべき、普通、「この式を因数分解しなさい」と出題された場合は、必ず2つ以上の因数になると信じて解く事です。 出来なければ「問題が間違っている」と判断すればいい、「運」では済まされない。どんな多元高次式も機械的に確実に因数分解できる方法は、まだ発見されてないと思う、a-kuma3さんが教示くださった、因数定理:f(x)=0にする値を探して因数を一つずつ消し、式を変形・まとめをして次の因数を探す、を繰り返すのは「基本」です。 コンピュータや関数電卓で解を求めるのもいいですが、求めた解の性質を知る事は大事です(近似値、複数解が存在など)それに停止条件を厳密に規定しておかないと「いつまでも計算し続ける=値の振動(真値のすり抜け)、極限値、数の体系が不整合(二進小数で有理数を正確に表すと無限桁になる場合がある)」 コンピュータや関数電卓は正しい理論、正しい入力、正しい使い方、出た答えに対して、正しい理解(使い方)をしなければなりません。その理論は数学理論を活用するのです。

多食斎友好=世田介さんのコメント
もう1つ学習を進める方法として「因数分解公式」の逆、「展開公式」を沢山作って、憶えておく事。これを作るのはさほど苦労はいりません。「因数分解」された式を展開するだけですから、幾らでも複雑な「因数分解」の式を使えます、その内規則性が見つけられたら、憶えればいいわけです。 (ax^3+by^2-cz)(ay^2-bz+cx^3)(-az^2+bx^3+cy)=....なんてものです。

2 ● 多食斎友好=世田介

2重回答になってしまいました。無効にしてください。


marcyさんのコメント
根の方式ですか?なるほど、他にやり方があれば教えてください。

3 ● a-kuma3

9x^2-12xy+4y^2x についての二次式だと考えて、この式が0のときの解を求めます。

(9)x^2-2(6y)x+(4y^2)=0

ax^2-2bx+c=0 のときの回の公式 x=¥frac{-b¥pm¥sqrt{b^2-ac}}{a} を使います。

x=¥frac{-(-6y)¥pm¥sqrt{(-6y)^2-(9)(4y^2)}}{9}

x=¥frac{6y¥pm¥sqrt{36y^2-36y^2}}{9} ────── ルートの中はゼロになる

x=¥frac{2y}{3}

これを使って元の式を変形すると、

9x^2-12xy+4y^2

=9(x-¥frac{2y}{3})^2 ─────── 9 を括弧の内側に入れると、

=(3x-2y)^2



# tex 記法を使って、回答してみたかっただけです (^^;


marcyさんのコメント
なるほど!そのような解き方もあるのですか!驚きです!ありがとうございました。

a-kuma3さんのコメント
多食斎友好さんが回答で書かれてる『2次式や3次式ならば「根の公式」から導けば』の実践です。

多食斎友好=世田介さんのコメント
a-kuma3さん、きれいなていねいな回答をして頂き、有難うございます。 どうも私は、「直感」か、「地道に確実」に解くやり方をすぐやるようで。 確かに高次元では一般的な、「地道に確実」は解法が無い場合が多いです。 やはり、幾つかの公式を駆使して、一次、二次ずつ落としていって、式を整理しながら解くのが良いかと思います。 一応、質問者さんから、「運以外ではどんなやり方があるかも、しりたいです。お勧めのとき方とかありませんか?」と言うコメントも付いてますので、 私の回答のコメント欄にて質問者さんのコメントに応えたいと思います。

a-kuma3さんのコメント
あ、いや、丁寧にコメントされちゃうと困るな... 本当に、「tex 記法を使って、回答してみたかった」だけなんです。 別の質問の回答で使ってるのを見て、使える回答を探してました <tt>(^^;</tt>

4 ● a-kuma3

No.3 で書いたやり方は、解の公式が無い高次の式だと使えません。
一般には因数を探して、次数をひとつ下げてゆくしかないと思います。

x の関数 f(x) があるとき、f(a)=0 になる a があれば、
f(x) = (x-a)f’(x) と書くことができます。

x に、1とか、?1とか小さい数字を適当に当てはめて f(x) をゼロにする x を探し、
f(x)(x-a) で割ります(多項式の割り算はできますよね?)。
余りの多項式の次数は f(x) よりもひとつ下がるので、これを繰り返していけば、解の公式が使えるところまでたどり着きます。

たすきがけでも一緒です。
四つの数字を同時に思い付けなくても、ひとつだけ f(x)=0 にする x を探せば良いんです。
ただ、質問にある式のように、分数になるような場合には、極端に難易度が上がります。


多食斎友好=世田介さんのコメント
すみません。「解の公式」と書けば質問者さんも知らない訳は無いと思います。(中学生レベルですから) 「解」と言うと「正解」のように1つで終わりの様に「思われるイメージ」が残っていまして、未だに「根」を多用します。 生物界の「大改革」があって、上位分類名称「綱や目など」が替わって、「鱗翅目が「チョウ目」になったりして、・・・でも先生方の学会は「鱗翅学会」で私も時々見学させていただくのですが「臨死学会」?XXさんはそんな事に興味があるのですか?と言われる事が有ります。兎に角、子どもたちには、現在の新分類名を伝えて、先生方と話する時は「旧分類名」を交えてと言う事になります。 でも、やはり現在用語を使わなくてはいけないと思います。 私は、気が多いので、興味はアチコチに散らばり、「食べすぎで、消化不良や食中毒をショッチュウ起こします(本当の体でなく。頭です)」 それで、知識が無いのに、アチコチに食いつき、いい加減な質問・回答やコメントをしたりして、大いに(楽しんで、いや)皆さんに迷惑をお掛けしています。

a-kuma3さんのコメント
>> それで、知識が無いのに、アチコチに食いつき、いい加減な質問・回答やコメントを(略 << ぼくのことを書いてんのかと思った <tt>:-)</tt> 火傷をしたことは、数知れず。

多食斎友好=世田介さんのコメント
上記(私の)コメントは、私自身の事です。

5 ● Lhankor_Mhy

Kronekkerの算法
http://kako.ics.nara-wu.ac.jp/~kako/teaching/ca-bad/node86.html
計算量が多いので人間が解くには実用的ではないと思いますが、ニュートン補間を使って因数分解する方法のようです。

手と紙で計算する分にはこっちの方が簡単でしたが、高校で一般に用いるような多項式ならgcdを求めている段階で式をひらめきそう。
Yunの無平方分解アルゴリズム
http://kako.ics.nara-wu.ac.jp/~kako/teaching/ca-bad/node81.html

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