まず、失業保険についてはハローワークに相談するべきです。
https://www.hellowork.go.jp/info/contact.html
ここでは、はっきりとしたことを答えられませんが、およその話でしたら、まず受給資格の話からということになると思います。
受給資格は、およそ4つに区分されます。
yume223さんが心配されているのは、よく言われる基本手当が3ヶ月待たされるケースの話ですが、これはそもそも一般の場合で、1年未満の雇用では一般にすら該当しません。もしyume223さんが一般の扱いになれば、待たされるどころか受給さえ受けられない事になります。また就職困難者でも無いと考えると、yume223さんが受給資格があるかどうかは、特定受給資格者か特定理由離職者に該当するかどうかだと思います。
https://www.hellowork.go.jp/insurance/insurance_range.html
yume223さんが、どれに現時点では何も言えませんが、特定受給資格者か特定理由離職者に当たるのではないかと思います。であれば、90日分の給付を得られると思います。
さて3ヶ月云々というのは給付制限のことで、yume223さんは給付制限に当たらないと思います。
https://www.hellowork.go.jp/member/unemp_question02.html#q5
ただ、給付がもっとも早く行われても約1ヶ月待たされる事にはなります。
No.1の回答者が特定受給資格者か特定理由離職者かで判断が迷っていたようなので答えると特定受給資格者の方だと思います。
特定受給資格者(特定理由離職者)
http://blog.livedoor.jp/nakazono_office/archives/51121405.html
【労働契約が更新されなかったこと】
労働契約が更新されなかった者がその労働契約の更新を希望したにもかかわらず、更新についての合意が成立せずに離職した場合に限ります。(契約期間は3年未満に限られ、3年以上ある場合の雇止めは特定受給資格者になります)
特定受給資格者
http://www.mhlw.go.jp/bunya/koyou/koyouhoken05/hanni.html
あとはNo.1の回答者と同じです。
雇止めとは?
http://kotobank.jp/word/%E9%9B%87%E6%AD%A2%E3%82%81