http://kids.gakken.co.jp/kagaku/110ban/text/1480.html
引用サイトはちょっと子ども向け過ぎるかもしれませんが……。
ドライアイスから立ち上る白いもの、それは『水』です。ドライアイスはご存知のように常温(室温)では気体である二酸化炭素を凍らせたもの(固体)ですが、これは通常では凍らず、高い圧力をかけて無理やり凍らせているので、ドライアイスが溶けると気体の二酸化炭素になってしまいます。(この現象を『昇華』といいます)
その際、空気中の水分(気体)を凍らせたり液体にしたりしてしまい、それが『湯気』のように見えるという現象を引き起こします。
ドライアイスは普通にその辺に置いておいても白いものを纏いますが、お湯、つまり温めてやるとその『昇華』するスピードが激しくなってブクブクと白いものを生み出してくる訳です。そしてその上にスプーンをおくと、激しく溶け出す二酸化炭素によってスプーンが持ち上げられるのですが、重さを支えられずスプーンはドライアイスの表面に落ち、そのためスプーンがカタカタ鳴る、という現象を引き起こします。
このあたりは……そうですね、沸騰しているお鍋の蓋がカタカタ鳴っているのと同じですね。あれは水蒸気?湯気がお鍋の蓋を持ち上げては落としている、という状況です。