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右の図を使って、数学の問題を考えてみてください。
右の図は
四角形ACDBは平行四辺形であり、辺AB,CDの中点をそれぞれM,Nとする。
辺CAを延直線上にのばし、直線DMとの交点をP,
辺ACを延直線上にのばし、直線BNとの交点をQとする。
点Qを通り、辺MDと平行な直線をLとする。
辺DCを延直線上にのばし、直線Lとの交点をRとする。
右の図は点PとR,MとNを結んだものである。

という図形です。

この図を使って何か問題を作って欲しいです。
合同、相似、動点など種類は何でもOKです。

また、答えも載せてください。お願いします。

1345157761
●拡大する

●質問者: UTX
●カテゴリ:学習・教育
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 7/7件

▽最新の回答へ

1 ● atomu613
●29ポイント

簡単すぎてすいません。
辺QCを5センチとし、辺PCを15センチとすると辺RCと辺DCの長さの比は?
とか、面積比は?などです。


atomu613さんのコメント
答えを載せるのを忘れていました。長さの比は1対3、面積比は1対9だと思います。

mkonomiさんのコメント
この回答NO.1は質問文の<span style="font-weight:bold;color:#FF0000;">最大の特徴</span>をまったく抑えていません。 即ち、 <span style="font-weight:bold;color:#FF0000;">平行四辺形ABDC</span>が関係していない. <span style="font-weight:bold;color:#FF0000;">中点M,N</span>が関係していない. この回答NO.1の問題は以下と<span style="font-weight:bold;color:#00CC00;">等価</span>である。 直線ACがある。 直線AC上およびその延長線上にない点Dがある。 直線ACのA方向への延長線上の<span style="font-weight:bold;color:#0000FF;">任意の点</span>をPとする。 直線ACのC方向への延長線上の<span style="font-weight:bold;color:#0000FF;">任意の点</span>をQとする。 点Qを通り直線PDと平行な直線と直線DCの延長線との交点をRとする。 辺QCを5センチとし、辺PCを15センチとすると 辺RCと辺DCの長さの比は? 三角形QCRと三角形PCDの面積の比は?

mkonomiさんのコメント
atomu613さんの回答履歴を見てみると、 【小中学生限定!】の質問にも回答しているので、きっと<span style="font-weight:bold;color:#FF0000;">小中学生</span>でしょうね。 図らずも、70歳のじじいが孫ほどの小中学生をいじめている構図になってしまいました。 atomu613さんごめんなさいね。 atomu613さん、私のコメントは理解できましたか?

atomu613さんのコメント
はい、わかりました。ありがとうございます。

2 ● JULY
●29ポイント

問題:
□ACDB の面積を1とした時、△PRQ 面積は?

答え:
3/4

解説:
点 A と 点 N を繋ぐ直線を引くと、点 M と点 N がそれぞれ、
辺 AB と 辺 CD の中点である事から、

また、∠ACN と∠MND が同じであることから、

また、∠PCD と∠MND は同じで、∠PDC と∠MDN が同じである事から、

であり、点 N が 辺 CD の中点である事から

になる。

□MNDB の面積はは□ACDB の 1/2 であり、□MNDB の対角線で区切られた△MND の面積は、□MNDB の 1/2 であるから、△MND の面積は□ACDB の 1/4 である。

辺 CD は辺 ND の2倍の長さで、?より、高さも2倍である事から、△ PCD の面積は三角形 MND の4倍の面積となり、よって、△ PCD の面積は、□ACDB の面積の 4 × 1/4 = 1 で、

となる。

△AQB と△CQN では、

なので相似である。

辺 AB と 辺 CN の比が 2:1 である事から、辺 AQ と 辺 CQ の比は 2:1 となり、

△ACN と△PCD は、

となるから相似であり、よって辺 AN と 辺 PD は平行。
辺 PD と直線 L が平行である事から、

△CRQ と△ACN は、

となるから合同。
△ACN と△MND は合同(?)であるから、△CQR の面積は、□ACBD の 1/4。

また、△CRQ と△ACN が合同である事から、辺 RC と辺 CN の長さは等しく、
点 N が辺 CD の中点である事から、辺 RC の長さは、辺 CD の 1/2 となる。

△PRC と△ PCD では、高さが同じで、底辺の長さが 1/2 であり、
△PCD と□ACDB の面積が等しい(?)ことから、△PRC の面積は□ACDB の 1/2 となる。

△PRQ の面積は、△PRC と△ CQR の面積を足しあわせた物となるから、

1/2 + 1/4 = 3/4

う?ん、もっと簡単に求められる気がするなぁ....
△PCD の面積が、□ACBD と同じ事は、点 P を通る平行四辺形を考えれば、もっと簡単に出てきそう。


3 ● kazuki55
●29ポイント

意外と難しいですね。
もう少し考えさせてください


mkonomiさんのコメント
現時点で、kazuki55さんはもういらっしゃらないようですね。 http://q.hatena.ne.jp/kazuki55/ では >> ページが見つかりません。 URLをご確認ください。 << と表示されます。

UTXさんのコメント
多忙の為期日にポイント配分出来なくなってしまったのです^ ^; 大変失礼しました。

4 ● mkonomi
●29ポイント

《問 題》
三角形ACNの面積を基準面積として、五角形PRQDBの面積はその何倍ですか?

《回 答》
五角形PRQDBの面積は基準面積の11倍

《ヒント1》

以下の5つ辺の長さはみな同じ
PA (要証明)
AC ○(自明)
CQ (要証明)
MN ○(自明)
BD ○(自明)

《ヒント2》

以下の5つ辺の長さはみな同じ
RC (要証明)
CN ○(自明)
ND ○(自明)
AM ○(自明)
MB ○(自明)

《ヒント3》

以下の11個の三角形の面積はいずれも基準面積(三角形ACNの面積)
三角形ACN ○(自明)
三角形ANM ○(自明)
三角形BMN ○(自明)
三角形BND ○(自明)
三角形PAM (要証明)
三角形PMB (要証明)
三角形QDN (要証明)
三角形QNC (要証明)
三角形QCR (要証明)
三角形RCA (要証明)
三角形RAP (要証明)
この11個の三角形を合わせると五角形PRQDBになる


《基本的性質》
△ACN≡△NMA≡△MND≡△DBM・・・(1)
(証明容易につき省略)
∴面積ACN=面積NMA=面積MND=面積DBM=基準面積

(1)より
∠ACN=∠NMA=∠MND=∠DBM=θ1・・・(2)
∠CNA=∠MAN=∠NDM=∠BMD=θ2・・・(3)
∠NAC=∠ANM=∠DMN=∠MDB=θ3・・・(4)

(1)より
辺AC=辺NM=辺MN=辺DB=L1・・・(5)
辺CN=辺MA=辺ND=辺BM=L2・・・(6)
辺NA=辺AN=辺DM=辺MD=L3・・・(7)


《証明1》
対頂角∠AMP=∠BMD=θ2
AM平行CN ∴∠PAM=∠ACN
(2)より
∠PAM=∠ACN=∠DBM=θ1
(6)より
辺MA=辺BM=L2
△PAM≡△DBM・・・(8)
面積PAM=面積DBM=基準面積

(6)より辺MA=辺BM=L2
面積PMB=面積PAM=基準面積

(8)により
辺PA=辺DB=L1・・・(9)

《証明2》
NC平行BM ∴∠QNC=∠NBM
CN平行AM ∴∠QCN=∠CAM
CA平行NM ∴∠CAM=∠NMB
∴∠QCN=∠CAM=∠NMB
(6)により
辺CN=辺MB=L2
△QNC≡△NBM・・・(10)
面積QNC=面積NBM=面積DBM=基準面積

(5)(10)により
辺CQ=辺MN=L1・・・(11)

(6)より
辺ND=辺CN=L2
面積QDN=面積QNC=基準面積

《証明3》
対頂角∠QCR=∠ACN=θ1
RQ平行MP ∴∠RQC=∠MPA
(8)より∠MPA=∠NAC=θ3
∴∠RQC=∠MPA=∠NAC=θ3
(5)(11)より
辺CQ=辺AC=L1・・・(12)
△QCR≡△ACN・・・(13)
面積QCR=面積ACN=基準面積

(9)(12)より
辺PA=辺CQ=辺AC=L1
面積RAP面積RCA=面積QCR=基準面積

(6)(13)より
辺RC=辺CN=L2


5 ● Silvanus
●28ポイント

ネタです。真面目に考えないで下さい。
数学的に厳密な表現になっていない部分はお許しを。
「辺ABを固定し、辺ACの長さを一定とすると、
点Cの軌跡は(当然)点Aを中心とする半径ACの円となる。
このとき、次の問いに答えなさい。
(1) 点Cと点Pの軌跡が一致することを示しなさい。
(2) 点Qはどの様な軌跡を描くか、説明しなさい。
(3) 点Rはどの様な軌跡を描くか、説明しなさい。
(4) ACとABの辺の長さがAC=AB/3の関係を満たすとき、
4つの点R,P,N,Dの軌跡は何を描き出すか、答えなさい。
?????
【略答例】
(1) △PAM≡△DBM [二角夾辺相等]
∴PA=DB [対応辺] =AC [平行四辺形の対辺]
∴AP=AC ∴点Cと点Pは共に、点Aを中心とした半径AC=APの円を描く [QED]
(2) 上記(1)と同様にQC=AC ∴AQ=AC+CQ=2AC
∴点Qは、点Aを中心とした半径2ACの円を描く
(3) ANをひく AM(平行&等長)ND ∴ANMDは平行四辺形
∴AN(平行)MD(平行)RQ またAC=QC[(2)]
∴△ACN≡△QCR [二角夾辺相等] ∴NC=CR[対応辺]
∴辺MAをA方向へ延長し、AA'=AM=NC=CRとなる点A'をとると
点Rは、点A'を中心とした半径ACの円を描く
(4) ●udi

… しつれーしましたー!


Silvanusさんのコメント
【訂正】(3)一行目 (誤)「ANMD」→(正)「ANDM」 図に辺ANを描くの忘れました…

mkonomiさんのコメント
●udiってどういう意味ですか? ちょっと検索してみましたが分かりませんでした。

Silvanusさんのコメント
> mkonomi様 うっ…そこは敢えて訊かないでいただきたかったです…w 正解はコチラ!↓ http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%82%A6%E3%83%87%E3%82%A3

mkonomiさんのコメント
●=Aで、アウディのエンブレムと類似ということですね! 「フォーシルバーリングス」と呼ばれる4つの輪を組み合わせたエンブレム. Silvanusさんはかなりユーモアのセンスをお持ちの方なのですね。

mkonomiさんのコメント
4つのリングの重なり具合まで酷似していますが、これは AC=AB/3 としたためですね。

Silvanusさんのコメント
謂わば「ダジャレ」的なものですから ユーモアのセンス云々というところまでは行かないかとw 最初は、辺AC固定で、真面目な(!?)軌跡の問題を作っていたのですが 解答例を作成している内に面倒臭くなってしまって(苦w) より簡単な辺AB固定に切り換えて、更にネタに走ってしまいました…。 <img src="http://rct3jp.info/hatena/hatena_notaudi.png">

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