お寺に言えば良いと思います。
埋葬許可証を一緒に移せば、何ら問題は無いでしょう。
そもそも、戸籍にお墓の場所は記載されません。死亡届の記載事項は死亡の場所で、お墓の記載は無用です。(戸籍法第八十六条の2の一)
宗教上の事もありますが、基本的にはお墓を管理されている方とのやり取りです。田舎だと特に事前の根回しも必要かもしれません。お墓参りにいらっしゃる縁者の方にも御一報されるのも、後々には必要だと思いますよ?(*≧∀≦*)
墓地は寺の管理なので、寺の宗門でないと入れないケースがあります。
たとえば、曹洞宗の場合、「離檀する」という内容の書面を内容証明郵便などで送れば、それで済みます。離檀料はお寺さんと檀家さんの間の取り決めなので、ケースバイケースです。
入檀される時に書面で約束をして、その中に離檀料の規定があるのであれば、基本的には支払わなければならないと思いますが、それも金額が過大でとても支払いきれないというのであれば、お寺さんと相談して減免をお願いするなり、法律家に相談されることをお勧めします。
>お墓の引っ越し
(1)手続き?
・朝日(2012年06月24日)記事
(2)相談?
・毎日(2008年06月22日)記事
(3)ボッタくられないために
・高庵寺26世和尚さん
・お墓の営業マン・宮崎さん
・お墓の建立1から全てお教えします
お寺以外でも、市営墓地、私立の霊園などですと、管理事務所があったり、または、役所内に管理している係があるとおもいます。
例)市川市|市川市霊園使用者に関する手続き :http://www.city.ichikawa.lg.jp/pub01/1541000001.html
他の市町村でも同じような手続きかと思います。
また、新たにお墓に納められる方のお戒名を刻んだり(夫婦墓や墓誌石)するのを石材店にお願いしたりするのもあるでしょう。
納骨時に宗教儀礼をするかどうかは遺族の方次第だと思います。