現に怪我をされているので自動車側にも報告義務があるかと思いますが
それがされていませんので、被害届とともに告訴状を警察に提出が可能かと思われます。
被害届は被害に遭ったことを申し出るだけに過ぎませんが
告訴・告発されたものについては、普通なら捜査機関は受理し捜査しなければなりません。
加害者が分からなくても告訴はできます。
しかし、こちらが提示できる証拠といえば
被害届と自転車の被害状況を証明する書類のみとなります。
事故当時の状況を事細かに記載し、説明もしなければなりません。
書類を弁護士などともに作成し、警察に持っていくことになります。
単に1,2万円の自転車代を請求するための加害者探しだとすれば、
この手続きは、アルバイトして稼ぐより遥かに手間と時間を掛けることになります。