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Can you solve this problem?
http://mathematicsforstudents.wordpress.com/2012/03/31/can-you-solve-this-problem/
の問題、
8809=6
7111=0
などの21個の式に基づいて
2581=??
の値を求めるものです。

This problem can be solved by pre-school children in five to ten minutes.
などのヒントがあります。

未就学児が5?10分でわかるということは
数の概念を離れて、数字の字形のパターンに注目するということのようです。
数字の字形に含まれる閉じた円(丸)の個数との観点では
2581=2
となります。
与えられた21個の式から論理的に答を求めても同じ答えが得られます。

ところが、
問題をちょっとだけ変えて
21個の式は元のままで
2584=??
と変えてみると、閉じた円の個数の観点では前と同じで
2584=2
となりますが、
21個の式からは論理的に答を求めることはできません。

何故このようなことになるのかを論理的に説明してください。


●質問者: mkonomi
●カテゴリ:学習・教育
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 2/2件

▽最新の回答へ

1 ● きゃづみぃ
●30ポイント

4と言う数字をどのように扱うかの定義が不明なためですね。

例が 閉じられた空間の数ならば 4は 1として扱われますが
例が○の数ならば 4は △なので 4は 0となってしまいます。

ということでしょうか。


mkonomiさんのコメント
>定義が不明 近いですが、ピンポイントではありません。 論理的アプローチでは数字の字形のパターンはまったく関係ありません。

質問者から

条件式をあとひとつ追加すれば数字の字形のパターンとは関係なく論理的に解決できます。

《例1》追加条件式が1234=2で 2584=4
《例2》追加条件式が9864=7で 2584=5

ひとつ極端な例を示せば
《例3》追加条件式が1234=98で 2584=100


2 ● Silvanus
●70ポイント ベストアンサー

元となる問題は、提供されている条件式の左辺を独立変数x、

右辺を従属変数yとする関数f(x)=yを決定するものと凡そ読み換えられると思います。


独立変数xを、十進数表記した際の各位の数字(千位から一位へ順に)
p,q,r,sで表現するとして(x=1000p+100q+10r+s、p,q,r,sは0以上9以下の整数、
※但し最上位桁から連続する0を許容しなければならない)、
少なくとも次のことが言えていなければ本問題は成立せず
解くことも出来ないと思います。


???

[1] 「y=f(x)=f(p)+f(q)+f(r)+f(s)が常に成立する」


1) yの値は、独立変数xを十進数表記した際の各位の数字個々を独立変数とした

関数の和に等しい。つまり桁の順序を入れ替えても値が変わらない。

(関数の定義域には、4桁でない数値も含み得るが、「0以上の整数」でない
数値については含まれないものと考える。)


2) 関数の演算過程で特定の桁の取り出しや四捨五入等の丸め、符号の変換等の
特殊な操作が行われていない。


[2] 「値域は0以上の整数である」

???

「数字の字形のパターンに関係」という但し書きがあり、且つ
「条件式群がテキスト形式ではなく画像ファイルとして提供されている」
(つまり数字が、解答者の閲覧環境(フォント設定)に依存して変化せず
出題者の規定した特定の字形で解答者に提供されている)ならば
(これでも未だ完全ではありませんが)先に記した前提条件[1][2]は
「(恐らく)満たされているもの」として話ができます。

ですので、本問題は「数字の字形のパターンに関係」という条件があって
漸く(辛うじて)「論理的アプローチ」が可能なのであって
「論理的アプローチでは数字の字形のパターンはまったく関係ない」という
表現はあたらないのではないかと思います。

???

「数字の字形」に関係有るか否かは置いておくとして、
本問において上記の前提条件が満たされている限りにおいては
条件式群から以下のことが判ります。
(※前提条件があれば、示されている21個全ての式が必要な訳ではありません。)

f(0)=f(1)=f(2)=f(3)=f(5)=f(7)=0, f(6)=1, f(8)=2, f(9)=1

条件式群の左辺(独立変数)の数値の桁に
一度も「4」が登場していないので、f(4)の値は知り様がありません。
よって、条件式として、左辺に「4」を含むものが1つでも追加されたならば
(4以外の数値の桁tに対するf(t)は全て明らかになっているので)
全ての定義域におけるf(x)を求めることができます。


Silvanusさんのコメント
回答書き込む前にリロードし忘れていて 追加コメに気付きませんでした…orz。

Silvanusさんのコメント
左カラムの条件式を上から順に1~11、右カラムのものを12?21とする。 [1] 左辺の4桁が全て同じ数字となっている式4,5,9,10,11,12,16,17から 4f(1)=4f(2)=4f(3)=4f(5)=4f(7)=0 ∴f(1)=f(2)=f(3)=f(5)=f(7)=0 4f(0)=4f(6)=4f(9)=4 ∴f(0)=f(6)=f(9)=1 ※この時点でf(4)とf(8)のみ未特定 ※左辺の数値の桁に4と8を含まない式2,3,6,7,8,15,18,21は不要となる。 [2] 例えば式1から 2f(8)+f(0)+f(9)=2f(8)+1+1=6 ∴f(8)=2 ※残りの式13,14,19,20が不要となる。

mkonomiさんのコメント
10000個の非負整数 0000?9999 を全てカバーする議論、 興味深く読ませていただきました。 > 関数の和に等しい。つまり桁の順序を入れ替えても値が変わらない。 仰るように、 左辺の4ケタの数値を構成するひと組の4つの数字について その並び順がどのように変わっても右辺の値が変わらない という条件は非常に重要です。 この条件に反する条件式があれば、論理的アプローチでは 矛盾を生じます。

mkonomiさんのコメント
> 2) 関数の演算過程で特定の桁の取り出しや四捨五入等の丸め、符号の変換等の > 特殊な操作が行われていない。 上記の条件 2) はなぜ必要なのですか? コンピュータ内の数値を表すビットパターンまで考慮されようとなさっておられるのですか? ピント外れの質問でしたら申し訳ありません?

Silvanusさんのコメント
「特定の桁の取り出し」というのは、表現として適切でなかったです。 意図していたところは、関数の演算の過程で出て来た数値gについて、 hで割った商iや剰余j(g=h*i+j)を次の演算へ受け渡す (または結果yとして出力する)という様なことを行う計算操作のことで、 例えばh=10等とした場合、演算結果の特定の位の数字を取り出すことができます。 説明が上手く出来ていないと自覚しておりますので(汗)具体例を挙げます。 元問題の規則に従って"888888"を評価すると、輪っか2個×6=12となりますが この時に結果"12"の一位のみ"2"を出力する、という様なことです。 こういう演算自体は関数としては勿論「あり」な訳ですが、 本問の様に、限られた条件式の中で独立変数と従属変数の 対応関係の規則性を見つけ出すことは非常に困難になり 問題としては成立しなくなります。 しかし、[1]の条件さえ満たしていれば、自動的に こういう計算操作が介入している可能性を排除できている…はずです。 (小数に限らず)四捨五入・切り捨て・切り上げ等(Round関数的)や 符号の変換(Abs関数的)の計算操作についても同様です。

mkonomiさんのコメント
非常に丁寧なコメントありがとうございました。

mkonomiさんのコメント
> 関数の和に等しい。つまり桁の順序を入れ替えても値が変わらない。 良く考えると、これは論理的に解決できるための<span style="font-weight:bold;color:#FF0000;">必要条件</span>ですが、 これをキープするだけで論理的に解決できるとはかぎりません。

Silvanusさんのコメント
はい。必要十分でないのは承知しておりましたので、最初に 「少なくとも次のことが言えていなければ…」と断りました。

質問者から

【問題の一般化】(単なるコメントです)
オリジナルの問題をより一般化すれば、
『m個のシンボルがあって、それぞれのシンボルは価値係数を有している。
個々の価値係数は分からないが、p個づつのシンボルのセットがn組あって、
各セットには同じシンボルをいくつ含んでもよいものとする。
各セットの価値係数の総和の値は分かっている。
新たに指定されたp個のシンボルのセットの価値係数の総和を求めよ。』
となります。

この一般化した問題において
m=10
n=21
p=4
「シンボル」を数字の文字形状
「価値係数」を数字の文字形状に含まれる閉じた円(丸)の個数
として具体化すれば、オリジナルの問題になります。


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