ｺﾒﾝﾄで回答をしてくれている方､ありがとうございます｡
でも､｢回答｣にしてくださいませんか？

> ｢忙しい｣を｢急がしい｣と書いてもいいのでしょうか？

｢急がしい｣と書かないほうがいいと思います｡
｢忙しい｣を知らないと思われてしまいます｡

> それはわたしの知識が足りてないせいでしょうか？

いいえ､通常｢急がしい｣とは書きません｡

> 学校で習ったことと違うし､困惑します｡

｢急がしい｣と辞書に入れてもﾋｯﾄしないので､使わないほうがいいと思います｡

忙がない(誤)≠(正)急がない ? 語幹が違えば用法が異なる ?

学校で習ったことや､Wikipedia に書かれたことだけが正解ではない｡
日本語には｢語尾変化｣があり､変化しない｢語幹｣で区分される｡
｢忙しい｣は形容詞､｢急ぐ｣は動詞です｡

…… 形容詞『忙しい』の反対語は､形容動詞『暇な』となります｡
http://nhg.pro.tok2.com/qa/keiyoushi-1.htm

…… ごかん【語幹】1］国文法で､用言の活用語尾を取り除いた変化
しない部分｡｢歩(ある)く｣｢速(はや)い｣の｢ある｣｢はや｣など｡
〔補説〕｢着(き)る｣｢来(く)る｣など､語によっては語幹と語尾が
はっきり分けられないものもある｡── 大辞林(三省堂)