1、先ず取得出来ていないという事はエラーが起こっているのでmysql等のエラーログを確認して取得出来ない原因を追求した方が良いと思います。
2、これは出力するページのサイズが重いとき等に使うものなのでサーバーサイドの処理が重い時には使えないと思います。
見せ方だけで良いのでしたら読み込みボタンを押したタイミングでローでディング画像等をjavascriptで表示させるだけで出来ます。
(1)このようなデータ挿入の欠落を防ぐ方法はありますでしょうか?
短時間に API へアクセスを繰り返していないでしょうか?アクセス制限に引っかかっており、サーバーがエラーを返しているかもしれません。
今わかっている情報だけでは原因がわからないので、実際に API にアクセスしているプログラムを貼り付けると有効な回答が得られるかと思います。
(2)読込時間が長いため、下記のサイトを参考に読込中にプログレスバーを表示させたいと考えておりますが、デフォルトでは「画像ファイル」の読込みのみ対応しているようでここでphpファイルを指定することは可能でしょうか?
画像ファイルを指定している箇所はURLを指定しているだけなので、任意のURLを記述できます。