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この問題がどうしても解けません(._.)
詳しい説明と途中経過式、回答を教えてください(>_<)

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●質問者: KK777
●カテゴリ:学習・教育
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 1/1件

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1 ● rsc
ベストアンサー

こちらは参考になるでしょうか。
(ア) a_{k}=2k-1から、
¥sum _{k=1}^{10} a_{k}^2=¥sum _{k=1}^{10} (2k-1)^2
¥sum _{k=1}^{n} (2k-1)^2を計算して、後で、n=10を代入すると、1330
また、数が少ないのでそのままやってもいいです。
1^2+3^2+5^2+7^2+9^2+11^2+13^2+15^2+17^2+19^2=1330

(イ)恒等式
(a+b)^2=(a^2+b^2)+2ab
(a+b+c)^2=(a^2+b^2+c^2)+2(ab+bc+ca)
これは、(a_{1}+a_{2}+ ¥cdots +a_{10})^2でも成り立ちます。

¥left( ¥sum _{k=1}^{10} (2k-1)¥right)^{2} = ¥sum _{k=1}^{10} (2k-1)^2 + 2 ¥sum _{1¥leq i < j¥leq 10} a_{i} ¥cdot a_{j}

2S=2 ¥sum _{1¥leq i < j¥leq 10} a_{i} ¥cdot a_{j}=¥left( ¥sum _{k=1}^{10} (2k-1)¥right)^{2}- ¥sum _{k=1}^{10} (2k-1)^2

S=¥frac {1} {2} ¥left{ ¥left(¥sum _{k=1}^{10} (2k-1)¥right)^{2}- ¥sum _{k=1}^{10} (2k-1)^2¥right}=¥frac {10000-1330} {2}=4335
また、数が少ないのでそのままやってもいいです。

+ 1*3+ 1*5+ 1*7+ 1*9+ 1*11+ 1*13+ 1*15+ 1*17+ 1*19= 99
 + 3*5+ 3*7+ 3*9+ 3*11+ 3*13+ 3*15+ 3*17+ 3*19=288
 + 5*7+ 5*9+ 5*11+ 5*13+ 5*15+ 5*17+ 5*19=455
 + 7*9+ 7*11+ 7*13+ 7*15+ 7*17+ 7*19=588
 + 9*11+ 9*13+ 9*15+ 9*17+ 9*19=675
 +11*13+11*15+11*17+11*19=704
 +13*15+13*17+13*19=663
 +15*17+15*19=540
 +17*19=323
=
+ 1*(3+5+7+9+11+13+15+17+19)= 99
+ 3* (5+7+9+11+13+15+17+19)=288
+ 5* (7+9+11+13+15+17+19)=455
+ 7* (9+11+13+15+17+19)=588
+ 9* (11+13+15+17+19)=675
+11* (13+15+17+19)=704
+13* (15+17+19)=663
+15* (17+19)=540
+17* (19)=323

以上合計、4335
これから、何か別の式も見えてきました。(^_^;
S=¥sum _{i=1}^{9}¥left¥{ ¥sum _{j=i+1}^{10} ¥left( 2i-1¥right) ¥left(2j-1¥right)¥right¥}=¥sum _{i=1}^{9}¥left¥{ ¥left( 2i-1¥right) ¥sum _{j=i+1}^{10}¥left(2j-1¥right)¥right}=4335

ヒント:まず、これを計算する。
 ¥sum _{j=i+1}^{10}(2j-1)=¥sum _{j=1}^{10}(2j-1)-¥sum _{j=1}^{i}(2j-1)=100-i^2


KK777さんのコメント
ありがとうございますm(__)m

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