偶数だったら 2で割り切れますので ｶﾝﾀﾝですが
奇数の場合は 3から調べないとﾀﾞﾒですね｡
5の場合は､最後が 0か5なので すぐ わかると思います｡

なので 3､7､11､13､17､19､23と調べていけばいいでしょう｡

それぞれの値で 割り切れるかどうか調べます｡

はじめまして｡E.A.Poeと申します｡

主題：√200以上が出てくるようなら､別な方法を考えた方がうまくいくことが多い｡

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小生は塾の講師をやっているのですが､ﾙｰﾄ計算の練習を除けば､計算の途中に出てくるﾙｰﾄの数はたいてい√200以下です｡
小生は生徒に
11×11＝121
12×12＝144
13×13＝169
14×14＝196
15×15＝225
を覚えてもらい､それを手がかりにﾙｰﾄ計算をしてもらっていますが､だいたいうまくいくようです｡
これは169と196､5が出てくると最後のﾋﾄｹﾀも5､ということで覚えやすいからです｡

ﾙｰﾄの計算練習では､これらを使うか､やはりtakntさんのおっしゃるように因数候補で割っていく(要するに素数の小さい順で割っていく)しかないでしょう｡
＃3で割り切れる→全部の桁数を足して3で割れる(たまに使う)
＃4で割り切れる→最後の二桁が4で割り切れる(結構使う)
＃5で割り切れる→最後が0か5(簡単すぎる)
＃6で割り切れる→2か3で割り切れる(あまり使わない)
＃7で割り切れる→やってみた方が早い
＃8で割り切れる→最後の3桁が8で割り切れる(あまり使わない)
＃9で割り切れる→全部の桁数を足して9で割れる(3の倍数判定で出てくる)
＃などを使いますが､便利なのは
＃15･30･45･60(時計の数)･75･90 という15の倍数
＃12?48(繰り上がりのない暗算)･60･72･84･96･108 という12の倍数
＃25･50･75･100･125･…(ﾌﾟｰﾙの数)25の倍数
＃あたりです｡
＃これらを覚えておいて場合にあわせて駆使するとﾗｸです｡

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√361を見たら｢普通はこんなの計算させない｣｢なにかある｣と思うべきでしょう｡
今回は､rscさんがｺﾒﾝﾄに書いてくれたとおり､たすき掛けの因数分解を使うべきです｡
3X^2-11x-20 = 0 は
(3x + 4)(x - 5) = 0
になりますから､X=-3/4 or 5 になります｡

たすき掛けの因数分解は､教科書を見るか､このあたりを参考にして下さい｡

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こんな感じですが､お役に立ちますかどうか｡