この正規表現でいかがでしょうか？
/\/([^\/]+)$/


perlのﾃｽﾄｺｰﾄﾞです｡(regrex_test.pl)

#!/usr/bin/env perl

$src="/usr/home/bin/hoge.txt";
$src =~ /\/([^\/]+)$/;
print( $1 . "\n" );


実行結果
./regrex_test.pl
hoge.txt

すみません，私が聞きたいのは｢正しい解答｣や｢動くｺｰﾄﾞ｣ではなく，
否定の先読みにおける正規表現が，｢どういう意味で，なぜ，そのような挙動を示すのか？｣という意味と理由の部分です．

参考になるのは､こちら｡

"(?=hoge)" は "hoge" が続くｾﾞﾛ文字列に一致する｡

http://d.hatena.ne.jp/ku__ra__ge/20070324/p2

ﾀﾞｲｱﾘｰに記載されている京大のﾍﾟｰｼﾞはﾘﾝｸが切れていますが､Internet Archive に残ってます｡
http://web.archive.org/web/20030427151113/http://www.cog.ist.i.kyoto-u.ac.jp/~takahashi/notes/regex_forward_match.html

id:ku__ra__ge さんと同じく､ぼくもこれを読んで､｢う?む｣って唸りました｡


んで､質問されていることの説明です｡

(?!.+/)

この部分を､どう読むかというと､｢『任意の一文字以上の文字列で､/ でおわるもの』ではない文字列の先頭(文字の隙間)｣です｡
hoge.txt の前にある "/" (ｽﾗｯｼｭ一文字) は､｢『任意の一文字以上の文字列で､/ でおわるもの』ではない文字列｣に該当しますから､先の表現は "/" の前を指します｡
そこから任意の文字列ですから､"/hoge.txt" がﾏｯﾁするわけです｡

対して､

(?!.*/)

さきと同様に､｢『任意のｾﾞﾛ文字以上の文字列で､/ でおわるもの』ではない文字列の先頭(文字の隙間)｣です｡
｢『任意のｾﾞﾛ文字以上の文字列で､/ でおわるもの』ではない文字列｣に該当するのは､"hoge.txt" になります｡
後は､説明は要らないですよね｡

これを踏まえると､以下の正規表現も "hoge.txt" にﾏｯﾁするのが理解できると思います｡

(?<=.+/).+

｢幅ｾﾞﾛの肯定後読み｣を使ってます｡
｢"/" で終わる文字列の末尾(文字の隙間)｣までが､肯定後読み (?<=χ) の部分ですから...


なんて､偉そうに書いてますが､先読み／後読みって､難しいです｡
先読み／後読みの正規表現は､ひとしきり考え込まないと理解できません X-)


蛇足ですが､元の問題の一番わかりやすい正規表現は､これだと思います｡

[^/]+$

(?!.+/)
は，｢ｽﾗｯｼｭで終わる，1文字以上の文字列のﾏｯﾁが失敗する位置｣という意味
(?!.*/)
は，｢ｽﾗｯｼｭで終わる，0文字以上の文字列のﾏｯﾁが失敗する位置｣という意味

認識はこれで合っています｡
ただ｢(?!.+/).+｣という正規表現は､否定先読みが『後』の位置に書かれていることが混乱の元ではないかと思います｡
(一般的な横書きﾃｷｽﾄの場合､正規表現の｢先｣は右側であり､｢後｣は左側です)

｢(?!.+/)｣は､｢その位置から右側へﾏｯﾁを試みた場合､ｽﾗｯｼｭで終わる，1文字以上の文字列のﾏｯﾁが失敗する位置｣を示すため､それぞれの位置でのﾏｯﾁ成否は以下のようになります｡

【位置A】
/usr/home/bin/★hoge.txt
 ↑
 (｢.+/｣のﾏｯﾁは失敗する)

【位置B】
/usr/home/bin★/hoge.txt
 ↑
 (｢.+/｣のﾏｯﾁは失敗する ※)

※正規表現｢.+/｣は2文字目以降に｢/｣が現れないとﾏｯﾁしないが､
 ｢/hoge.txt｣は1文字目にしか｢/｣が無いためﾏｯﾁしない｡

【位置C】
/usr/home/bi★n/hoge.txt
 ↑
 (｢.+/｣のﾏｯﾁが成功する)

正規表現はﾏｯﾁする文字列が最長になるようにﾏｯﾁしますので｢(?!.+/).+｣は右端の｢.+｣が最長になるように【位置B】が利用され､結果｢/hoge.txt｣がﾏｯﾁすることになります｡

ありがとうございました．やっと腑に落ちる感じがしました．
これっぽっちのことで，丸一日考え込んでしまったので．やはり質問してみるものですね．