たぶんこれでいいと思います｡

ｸｰﾛﾝの法則より､電荷Qからの距離rの位置から無限遠へ電荷qを移動させるのに必要な仕事は､

• ∫(∞→r)qQ/(4πε_0R^2)dR

となります｡原子核の電荷QはQ=+e､電子の電荷qはq=-eとなるので､計算すると
∫(∞→r)-e^2/(4πε_0R^2)dR
=0+e^2/(2πε_0r)
=e^2/(2πε_0r)
となりこれが電子のﾎﾟﾃﾝｼｬﾙｴﾈﾙｷﾞｰとなります｡

全ｴﾈﾙｷﾞｰを求めるには運動ｴﾈﾙｷﾞｰを求める必要があり､これには速さvが必要です｡
一般的な(等速)回転運動のとき､向心力の大きさは､
mv^2/r
で与えられます｡電子が原子核の周囲を公転する場合は向心力はｸｰﾛﾝ力となるので､

• e^2/(4πε_0r^2)=mv^2/r

v^2=-e^2/(4πε_0rm)
と変形できる｡運動ｴﾈﾙｷﾞｰは1/2mv^2で与えられるので､E_kは､
E_k=1/2mv^2
=-e^2/(8πε_0rm^2)
となります｡この式のrに条件式を代入すれば運動ｴﾈﾙｷﾞｰをnで表すことができます｡
同様に､位置ｴﾈﾙｷﾞｰにもrの条件式を代入し､運動ｴﾈﾙｷﾞｰとの和をとると目的の全ｴﾈﾙｷﾞｰをnの式で表現できます｡


間違えてたらすみません｡