算数の問題です｡この質問内容で計算をする事は可能ですか？血液検査をしました｡陰性となりました｡ ※陰性と陽性しかありません｡しかし血液検査の信頼性は90%です｡…

算数というより日本語の問題です｡厳密に言えば問題文は不完全ですが､対象年齢によってはこれでOKなんでしょう｡
(中学生ﾚﾍﾞﾙかな？)

全体からの陰性の割合が出ていませんから､全体の発病率は計算不能です｡90％は信頼性であって､陽性が90％とはどこにも書かれていません｡

＞陰性になった人がどの位の割合で発病するか

これが設問の主題です｡前提条件として
｢陰性になった人が｣
ですから､陽性の人は除外されます｡
あくまで陰性になった人の中での確率です｡
偽陰性の確率が10％でなおかつその発病率が10％ですから､1％
それにﾌﾟﾗｽして偽ではない陰性が90％
(問題になるのは陰性の発病率がどこにも明記されていない｡発病しているから陰性結果が出ると解釈できるのかな？だとすると､発病する確率は､という日本語がおかしい､発病している､と現在形にならなければ間違い)
答えは91％｡

ただし､
＞陽性(偽陰性)の場合の発病率は10%です｡

この部分の解釈が､単純に陰性の場合の発病率であれば答えも変わります｡
その場合は､陰性のうちの90％が真の陰性であり､陰性の発病率をかけて9％となります｡

問題文の写し間違いなんてｱﾎな事は言うなよ｡

算数の問題にしては複雑な用語なので整理します｡
その検査では偽陽性が全く考慮しなくてよく､陰性結果についてだけ調べた信頼度が90％ですよ､という意味であれば､
陰性と結果表示された人を100％として実際は陽性因子をもっている人が10％､その中で発病する人は10％ということですので､10％×10％＝1％陰性表示集団のうち1％の人はこのままいくと発病に至る可能性があると考えられます｡

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実際の検査で信頼度が90％というのがどういう意味で決めた数字なのかは病気の種類によるのでよくわからないです｡
ふつうは､偽陽性の統計も考慮して信頼度という数字を決めるかとおもいますので､提示ﾃﾞｰﾀだけでは検査の性質がわかったことになりません｡
感染病では､検査時点で病気の原因因子を持たない陰性の人でも､検査後になにか感染するようなﾁｬﾝｽと遭遇することは考えられます｡感染機会に会うことで真の陰性の人もどんどん真の陽性に転換します｡それはまた定期的に検査するしかないので次の検査で偽陰性が陽性結果に転じてわかるかもしれません｡検査の種類によっては､何回やっても偽陰性になりつづける人が存在することもあり得ます｡(検査としての歴史が長く信頼性のある血液型検査でさえ､何回やっても精子の血液型と血液の血液型が違うため犯罪捜査を逃れていた人がいるそうです)
偽陰性は手を打つのが遅れるから困りますが､この問題で発病率は10％とありますのでそのまま9割の人は病気因子が発現しませんのでそれでおわりです｡発病したら真の陽性であったことがその時点でわかります｡

一方で偽陽性も問題になります｡人は陽性という検査結果がでると､なにか余計な手だてを打って事態を悪化させてしまうから｡10人に1人しか発病はしないとはいえ遺伝病の偽陽性だと中絶で健康だった子供を殺してしまうかもしれない､結婚をためらうかもしれない｡感染病の偽陽性だと健康な体に高い発病予防薬を注射し､吐き気などの副作用がでたり噂になったりして紆余曲折の末退職してしまうかもしれない｡陽性の結果が出る人がどのくらいいるかしりません､再検査すれば偽陽性が陰性になるだけですむかもわかりませんが､そこの信頼度も問題にはなります｡陽性中の偽陽性発生率と陰性中の偽陰性の発生率が同じとは限りませんので､90％っていうのはどっちの信頼度だろうとおもうのです｡もし偽陽性について考慮されている数字だとしたら､上の1％という答えはあやふやになります｡