京都競馬場のページを見てみると、最寄駅は京阪電鉄だと、淀駅のようです。
電車・バスをご利用の場合バス時刻表・京阪電鉄淀駅下車徒歩2分JRA|京都競馬場
電車・バスをご利用の場合バス時刻表・京阪電鉄淀駅下車徒歩2分
でも、中書島駅からでも歩けなくは無さそうです。大きな地図で見る宇治川に沿って、西に向かって4km くらい。