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【定理の名称とか証明とか】
n,mをともに正整数とするとき、2^n?3^m=±1となるのは、
(n,m)=(2,1),(1,1),(3,2)に限るという定理について、

(1)この定理に名称があれば、教えて下さい。
(2)この定理の証明か、証明法を記したページや文献があれば紹介してください。

※一応自分で証明してみて質問したのですが、万が一これが定理でないことが知られているのでしたら、可能なら充分大きな(n,m)について、反例を教えて下さい。


●質問者: くろょ
●カテゴリ:学習・教育 科学・統計資料
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 3/3件

▽最新の回答へ

1 ● kaji0120
●50ポイント

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1065912980
modを使うのが一般的なようですね。


くろょさんのコメント
ありがとうございます。

2 ● holoholobird
●50ポイント

コメントのようなロシア語でなくても、ここにあったです。
http://balm.web.fc2.com/math87.html

2^n-3^m=±1が成立するような自然数n,mの組を全て求めよ。(tokoharu_sakura様)

@方針
整数問題。答えは見えますが、他に答えが無いことを示さないと当たり前ですが点はありません。答え出すだけだら小学生でも出来るわ。
整数問題は絞り込めば勝ちです。絞り込むのにmodはかなり有効だと個人的には思っています。今回もmodを使用することになります。

@解答
mが奇数のとき、3^m≡3(mod8)
mが偶数のとき、3^m≡1(mod8)
n≧3のとき、2^n≡0(mod8)であるから、mが偶数であることが必要。
このとき、2^n=3^m?1であり、m=2pとおけるので
2^n=(3^p+1)(3^p?1)
よって、3^p+1=2^a、3^p?1=2^bとおける。(a>b≧0.a,bは整数)
ここで、2^a?2^b=2^b(2^(a-b)?1)=2であるから、a=2、b=1.よって、p=1
このとき、m=2、n=3.
また、n=2のときm=1.n=1のときm=1が題意を満たす。

以上より、(m,n)=(1,1),(1,2),(2,3)


くろょさんのコメント
ありがとうございます。

3 ● gizmo5
●50ポイント

合同式を使わないで解いているページがありましたので、ご紹介します。
http://ddincrement.blog.shinobi.jp/tokoharu_sakura/3

2^(2k)-1 = 3^m より (2^k+1)(2^k-1) = 3^m
したがって 2^k+1 と 2^k-1 はどちらも 3 の累乗である。

ここの部分で「3が素因数だから」という説明があれば大学受験をする高校生なら理解できる内容だと思います。
解法を思いつくことは難しいと思いますがw


くろょさんのコメント
ありがとうございます。
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