人力検索はてな
モバイル版を表示しています。PC版はこちら
i-mobile

弟の数学の宿題を手伝っているのですが、どうやって答えを導いたらよいか非常に苦戦しています。ちなみに「一次関数」の応用問題です。答えの導き方がわかる方、どうか助けてください! お願いします!!

上図のように、x座標とy座標がともに整数である25個の点に、黒と白のしるしをつけ、これらの点をそれぞれ黒点、白点とよぶことにする。いま黒点P(a,b)からbだけ右に進み、aだけ下に進んだ点をQとし、2点P、Qを通る直線PQをひくものとする。次の問いに答えなさい。

(問)ある黒点Pをもとにしてひいた直線PQ上に、白点(1,5)がある。この黒点Pの座標を求めよ。


答えはP(3,2)だそうです。

どうやって答えを導いたらよいか教えていただけたら嬉しいです。

1377675707
●拡大する

●質問者: theta_theater
●カテゴリ:学習・教育
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 3/3件

▽最新の回答へ

1 ● なぽりん

Qの座標をもとめる Q(a+b,b-a)

Pは黒点であるため、a,bは図からみて、1以上、5以下です。
PQの傾きを求める( Q-P=b,-aなので傾きは-a/bとなるが)までもなく題意から直線グラフは右下がりグラフです。

さて、図の1.5は白点ですが、そこから右下がりにすすんでいくとどこかで黒点Pにつきあたるはずです。真横とか真下にあるのがPだとすると、傾きがゼロや無限大になってしまいおかしいので、aは1ではないし、bは5ではありません。
aは2?5のどれか。bは1?4のどれかです。
あとは残る8個を総当たりで三角定規をあててやっていくしかないかとおもいます(一次関数のグラフをみるとそうなります)
そうすると白点とP(候補)をつないで右に伸ばしたらQ(原点からPへの線分を90度おりまげたとこにある)にうまくのっかるようなP.Qのくみあわせは回答の座標しかないとわかります。


えーっと一次関数ですが二次関数の解法を最初に考えたので書いておきますね。

PQの傾きを求める Q-P=b,-aなので傾きは-a/bとなり、y=-(a/b)x+α(切片をαとおいた)
白点1,5の座標を代入して切片をabであらわすと 5=-(a/b)×1+αですからα=5+a/bです
直線の式がもとまりましたy=-(a/b)x+5+a/b、a/bでくくるとy=(a/b)×(1?x)+5です。

さて、こいつがQをも通ってます。代入するとb-a=a/b×(1-a-b)+5
b=a+a/b-a^2/b-a+5、
(5?b)b=a^2-a
aは2?5、bは1?4でこれをみたす数で、しかもpが黒点であることから足して偶数になる組み合わせは…
やっぱり力業だし定規のほうがわかりやすい!!


たけじんさんのコメント
二次関数の解法で、式を満たすabの組み合わせを探す。が、王道です。 12個しか有りません。

なぽりんさんのコメント
問題文でいちじ!!っていわれてるんで

2 ● rsc

点P(a,b)とすると、点Qは、(a+b,b-a)と書ける。
よって、直線PQは、
(a+b-a)(y-b)=(b-a-b)(x-a)
∴ax+by=a^2+b^2
これが、点(1,5)を通るので、
a+5b=a^2+b^2…?
点P(a,b)は黒丸なので、(a,b)の候補は次の通り。
(1,2),(1,4),
(2,1),(2,3),(2,5),
(3,2),(3,4),
(4,1),(4,2),(4,3),
(5,2),(5,4)
後は、1つずつ代入して?が成り立つか調べてみましょう。

ちなみに、計算は面倒になりますが、a+b=2k+1(ただし、k=1,2,3,4)として、これと?から、aを消去して得られるbの2次方程式の判別式が平方数になるか調べると、数学の解答としては、もう少しかっこよくなります。計算練習と思ってやってみましょう。(^_^;


3 ● Sampo

この問題、一次関数のグラフの性質と円周角の定理を使って解く問題じゃないかと思いますが、弟さんはもう円周角の定理、特に【直径に対する円周角は直角、逆もまた真】というやつはもう習っているでしょうかね。

直線OP(傾きb/a)と直線PQ(傾き-a/b)は直角をなします。
白点をWと呼ぶことにすると、線分PWはPQに乗っていますから、OP⊥PWです。ということは、円周角の定理より、OWを直径とする円上にPはあります。

OWの中点(0.5, 2.5)を中心に円を描いてみれば、その上にある黒点は(3,2)だけです。

これは面白い問題ですね!!!


Lhankor_Mhyさんのコメント
円の方程式 [tex:(x-0.5)^2+(y-2.5)^2=26/4] を展開したら [tex:x^2-x+y^2-5y=0] という式になって変な声が出たw a,bの二次式を作ること=その円を立式すること、だったんですね。いやはや。
関連質問

●質問をもっと探す●



0.人力検索はてなトップ
8.このページを友達に紹介
9.このページの先頭へ
対応機種一覧
お問い合わせ
ヘルプ/お知らせ
ログイン
無料ユーザー登録
はてなトップ