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数学Aの問題です。

鋭角三角形ABCにおいてAB=8とする。辺ACを1:2に内分する点をDとし辺BCを3:2に内分する点をEとする。この時二点D、Eを通る直線Lと二点ABを通る直線の交点をPとするときAP=□である。
また直線Lと三角形ABCの外接円との2つの交点のうちPに近い方の点をQとし、他の点をRとする。この時PQ=3ならばQR=□である。
この2個の四角形(□)に当てはまる数字を求めよ。

説明と一緒に回答お願いします。

●質問者: harure82
●カテゴリ:人生相談
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 1/1件

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1 ● あんだんて
ベストアンサー

点Aから辺BCに対して線PEと平行な線を下し、BCとの交点をFとします。
△AFCと△DECは相似、AD:DC=1:2 なので、FE:EC=1:2 となり、
BE:EC=3:2 なら、BF:FE=2:1 となります。
次に△ABFと△PBEが相似、BF:FE=2:1 なので、BA:AP=2:1 つまりAP=4となります。

今度はAとQ、BとR、RとCを結ぶ線を引きます。
四角形ABRCは円に内接するので、対向角の∠BACと∠BRCの和は180°です。
∠BAC+∠CAPも180°なので、∠BRC=∠CAPとなります。
次に∠CRQと∠CAQは同じ円の線QCに対する円周角なので同じ角度です。
つまり∠BRC-∠CRQ=∠CAP-∠CAQ → ∠QRB=∠QAPとなります。
そうすると△PAQと△PRBが相似だと分かり、
対応する辺 PQ:PB=3:12=1:4 となるので PA:PR=1:4、
PA=4 なので PR=16、PQ=3 なので QR=16-3=13 となります。


harure82さんのコメント
よく分かりました! 丁寧にありがとうございます。
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