具体さがないので真剣さも伝わってきません
動物関係といってもﾍﾟｯﾄｼｮｯﾌﾟの店員から動物園の飼育係
獣医やｲﾙｶの調教師､初生ひな鑑別師などたくさんあります
単に動物好きだからというだけでは職業としては勤まりません
具体的に職種を絞って日頃からその職に就きたいという思いを行動で表すことです
もちろん両親と何度も話し合いをすることも大事です

夢は変わりますよ｡変わるというより､深くなるんです｡漠然とした夢から､具体的なものへと｡

｢動物関係の職｣と言ってもとてもたくさんの職種があります｡その中で､はっきりと｢これがやりたい｣という特定の職種がありますか? もしあなたが既に､具体的な一つの職種を本気で目指しているなら､それになるために具体的にいつ何をすれば良いかという資料を揃えられるはずです｡ばっちり資料を揃えて大人を説得しましょう｡

けれども､質問者さんの｢夢｣はそういうはっきりした職種に絞られているのではないんじゃないか､という印象を受けました｡ぼんやりと｢動物関係｣とまでは考えているけれど､その中では絞りきれていないのじゃありませんか? 具体的に｢動物関係｣の職にどういうものがあるか調べましたか? 獣医､ﾍﾟｯﾄｼｮｯﾌﾟ､動物のﾄﾚｰﾅｰ､動物園の職員など日常生活で目にできる職種はすぐに思いつくかもしれませんが､職業というのはひとつひとつが独立して存在するのではなく､相互に関連して存在しています｡質問者さんがすぐに思いついた職業の周囲に､それを支える職業がいくつもあるはずです｡そういったすぐにはわからない職業まで含めると実にいろいろなものがあり､それぞれ必要とされる勉強や資格も異なってきます｡

子供の頃､わかりやすい｢○○という職業に就きたい｣という夢を持ってその業界に入ってみたら､それまでは見えなかった関連する職種を知り､実は自分は○○を支える職種の方が合っていたんだと気づく､そういうこともよくあります｡

ひとまず､｢動物関連の職｣について徹底的に調べてみましょう｡もし知り合いにそういう職についている方がいれば､話を聴きにゆき､その職業について聞くだけでなく､それと関連する職業について (｢この職業をやってゆくうえで､こういう職種の人と助け合ってゆくことは欠かせない｣､という職種が必ずあるはずです)も教わって､調べる範囲を広げてください｡そしてわかる範囲で､それぞれの職種に就くために必要なことを書き出してみましょう｡

そうやって調べて行くうちに｢私は絶対これになる！｣っていうものに出会えたならそれを目指すもよし｡でもそこまで心を捕まれる幸運というのは滅多にないので､絞りきれなくても構いません｡｢これもいいけどあれもいいな｣なんてのがいくつもある段階なら､｢なるべく選択肢が増える進路｣を選ぶと良いでしょう｡

そうやって質問者さんが調査したﾃﾞｰﾀと､それをもとにした考察を資料にまとめて､先生や親に見せましょう｡それが｢本気｣の証です｡本気の気持ちというのを伝える方法というのは､具体的な行動をして何らかの成果を積み重ねる､それ以外に無いのです｡

高校生ですよね､そんなに焦る必要はないと思います｡
動物関係の仕事･･･非常にｱﾊﾞｳﾄですね､機会があるのであればﾍﾟｯﾄｼｮﾌﾟなどでﾊﾞｲﾄしてみてはいかがでしょうか？客からは見えない裏側がわかって良いですよ｡(売れずに大きくなった犬のその後や小さなｼｮｯﾌﾟであればﾄﾘﾐﾝｸﾞの工程なども知る事ができます)
自分も動物園目指して農学部､畜産科に行きましたが公立の動物園の募集はほぼなく運がよくあったとしてもかなりの倍率です(自分が学生の時はたまたまありましたがやはり男性が優先的に選ばれました)
他の動物にしろ､匿名回答2号さんがおっしゃるように､｢なるべく選択肢が増える進路｣を選ぶことが大事だと思います｡