これは､xxx.xxx.144.12のｻｰﾊﾞｰのみをｱｸｾｽを許すｻｲﾄを作るとしたら､xxx.xxx.144.0 - xxx.xxx.159.255のIPを許可する必要があるのでしょうか？

(おそらく)いいえ｡
xxx.xxx.144.0 - xxx.xxx.159.255というのは､そのｻｰﾊﾞを設置した業者などに割り当てられたｱﾄﾞﾚｽなので､その業者用のｻｰﾊﾞや他のｻｰﾊﾞも当然含まれていると思います｡
もちろんあなたの使っているｻｰﾊﾞも含まれているので､その範囲を許可すればｱｸｾｽは出来るようになるでしょうが､最低限のみ許可したいという話だと思うので､そんなに広い範囲を許可する必要はありません｡

他の質問も参考にすると､xxx.xxx.144.12を許可しているのにｱｸｾｽ出来ない｡どうすれば良いのか？という趣旨だと思うので､それについて書くと､とりあえず｢xxx.xxx.144.13｣だけを許可すれば良いのではないかと思います｡

ｱｸｾｽ制限でみるIPｱﾄﾞﾚｽはREMOTE_ADDRになるので､今回の場合xxx.xxx.144.13になります｡
なぜ､xxx.xxx.144.12ではないのかという点については幾つかﾊﾟﾀｰﾝがあるのでどれが原因かは調べるなり聞くなりする必要があって､場合によってはIPｱﾄﾞﾚｽの制限だけでは足りないかもしれません｡
＃場合によらなくても足りないかもしれませんが｡
その場合､ﾊﾟｽﾜｰﾄﾞ(basic認証とか)を併用するといいのではないでしょうか｡

1．ｻｰﾊﾞがIPｱﾄﾞﾚｽを複数持っている
ｻｰﾊﾞに限らず1つの機械で複数のIPｱﾄﾞﾚｽを持ち､使い分けることが出来ます｡
PHPだとfile_get_contentsでは指定できませんが､cURLを使えば出来るかもしれません｡

2．ﾌﾟﾛｸｼｻｰﾊﾞを経由している
ｾｷﾘｭﾃｨ上の都合などでﾌﾟﾛｸｼｻｰﾊﾞを経由しているのかもしれません｡
その場合､直接ｱｸｾｽも可能かもしれませんが､ｾｷﾘｭﾃｨ上の都合ならそれはやめたほうが良いかもしれません｡
なお､ﾌﾟﾛｸｼｻｰﾊﾞ経由であれば､多数の人がこのIPｱﾄﾞﾚｽを共用しているので､IPｱﾄﾞﾚｽの制限だけでは足りないかもしれません｡

3．ﾘﾊﾞｰｽﾌﾟﾛｸｼを使っている
この場合､xx.xxx.144.13が実際のｻｰﾊﾞのｱﾄﾞﾚｽです｡
このIPｱﾄﾞﾚｽはこのｻｰﾊﾞだけで使われていると思いますただ共用ｻｰﾊﾞなのでIPﾀﾞﾄﾞﾚｽも共用しています｡

まあ､他にも原因があるとは思いますが､何人でIPｱﾄﾞﾚｽを共有しているか､変わる可能性があるのかは確認しておいた方が良いかと思います｡