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与えられた4点を順次、辺で結んだ閉図形の呼び方をお教え下さい
4点;P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),P3(x3,y3,z3),P4(x4,y4,z4)[但しx1(=or≠)x2(=or≠)x3(=or≠)X4,y1(=or≠)y2(=or≠)y3(=or≠)y4,z1(=or≠)z2(=or≠)z3(=or≠)z4」
4辺;P1⇒P2,P2⇒P3,P3⇒P4,P4⇒P1とします[P1⇒P2は点P1からP2へむすぶ]
ついでに、4点が作る体積と、4辺が作る最大面積の計算式を回答していただいた方には加点します。

●質問者: 多食斎友好=世田介
●カテゴリ:学習・教育 科学・統計資料
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 2/2件

▽最新の回答へ

1 ● matryosika
●100ポイント

☆名前について
四点がすべて異なるとします。
この図形に名前をあえて付けるなら、グラフ理論における閉路グラフと同じものとみなせます。閉路グラフとみなしたとき、この図形はノードは4つあるので、C_4と記号で表したりします。

☆体積について
4点が作る体積について、ある一点から残りの三つの点への位置ベクトルが線型独立であるとし、4面体を仮定します。
そうならば、スカラー三重積を使った簡単な公式が存在します。
V=¥frac{1}{6}¥left|¥vec{P_1P_2}¥cdot ¥left( ¥vec{P_1P_3}¥times ¥vec{P_1P_4} ¥right)¥right|
三つのベクトルのスカラー三重積はそれらのベクトルで張られる平行六面体の符号付体積なので、それらを六等分して四面体を得ます。ちなみに、求められるのが符号付体積なので、通常の意味での体積を導くために絶対値がついています。

☆面積について
四つの点によって空間上に折れ面を構成できるので、その面積について考えます。
折れを直せば、各ベクトルの長さを辺長としてもつ四角形の面積を考えることと同じこととなり、辺長が与えられている四角形の面積公式である、Bretschneiderの公式というものを使うことができます。
Bretschneiderの公式
S=¥sqrt{(t-a)(t-b)(t-c)(t-d)-abcd¥cos^2¥theta}
a,b,c,d:各辺長、¥theta:対角の和の半角、t=¥frac{a+b+c+d}{2}(周長の半分)
この式によると、abcd¥cos^2¥theta>0であるので、この項が0になるようにとる、即ち対角の和が180°のときに最大面積となり、最大面積の式:
S_{¥mathrm{max}}=¥sqrt{(t-a)(t-b)(t-c)(t-d)}
を得ます。この式のa,b,c,dに、設問のベクトルの長さを代入すれば、題意を満たす式となります。
ちなみに、対角の和が180°の四角形は外接円を持つので、辺長が与えられている場合の最大面積となる四角形は、円に内接するような四角形であるといえます。


多食斎友好=世田介さんのコメント
ありがとうございます。面積については(「空間上に折れ面を構成」=三角形が2つで出来る1組の屋根型、当然もう1組の屋根型もできる訳で)でなく滑らかな連続曲面の面積が希望なのですが。(当然平面の場合も含まれます)

2 ● rsc
●100ポイント ベストアンサー

とりあえず、体積については、有名な公式があります。(^_^;
●行列式は美しい
http://www.geocities.jp/me109e4jp/gyouretusiki.html


多食斎友好=世田介さんのコメント
ありがとうございます、体積を求めるには「行列式」は強力で理解が早いですね!

多食斎友好=世田介さんのコメント
【体積】は 0次元は1点(点数) 1次元ならば長さ、その時の表面積は端点の2点 2次元ならば面積、その時の表面積は周長 3次元ならば立体の体積、その時の表面積は立体の表面積そのもの 4次元ならば4次元容積(体積)、表面積は長さ単位の3乗になりますが、 体積を理解するのは容易で、値を計算するのはrscさんが示された【行列式】は強力な道具になります、どちらかと言うと面積を計算する方が難しいですね。 でも、規則性が見出せる図形の場合は、ある程度簡単に計算できるモノ有るようですね、体積でも同じですが、断面を断面の重心の移動距離について積分すれば得られる事になります、移動経路や向きに関係なく計算出来るのが嬉しい、が断面の変化と移動距離を掴むのがかなり難しそう。

質問者から

分かりにくい質問をしてすみません、でも理解して頂いてありがとうございます。(ワザと「名」が出にくいと言うか、私の言葉に惑わされないようにしていたつもりです)
要するに、4点は3次元空間上に自由に散らばっていて(当然、同一座標も有り得るわけで{全点??})そしてその4点を順次つなぐ輪っか?の点と線で出来た「4点形?」と考えて貰って結構です。
角が4つ認められれば「4角形」、辺が4つ認められれば「4辺形」と言えますが、[4点の座標、それらを結ぶ4つの辺がある]と言う条件だけで、頂点は4つ見えないかもしれないし、辺も4つ見えないかもしれない図形です(当然ながら、辺と辺のクロスはOKです・・つまり凸多角形とは限りません)


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