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解析学について

∞Σn=1 (n/(2^n))
次の無限級数の収束、発散の示しかたを教えてください?

●質問者: asai7892
●カテゴリ:学習・教育
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 1/1件

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1 ● matryosika

d'Alambertの収束判定法より、
¥lim_{n¥to¥infty}¥left|¥frac{a_{n+1}}{a_n}¥right|<1¥Rightarrow¥sum_{n=1}^¥infty a_n<¥infty
であるので、ただ単に収束のみを示したければこの方法が使えます。ちなみに、極限値は1/2となり、1未満なのでこの級数は収束します。

もし級数の値を調べたければ、公比1/2の等比数列の積として数列が与えられているので、部分和に公比を乗した、 ¥frac{1}{2}S_nを調べればいいです。
S_n=¥frac{1}{2}+¥frac{2}{2^2}+¥cdots+¥frac{n}{2^n},
¥frac{1}{2}S_n=¥frac{1}{2^2}+¥cdots+¥frac{n-1}{2^n}+¥frac{n}{2^{n+1}}.
両者を引けば、
¥frac{1}{2}S_n=¥frac{1}{2}+¥frac{1}{2^2}+¥cdots+¥frac{1}{2^n}-¥frac{n}{2^{n+1}}
であり、部分和の極限としてこの級数の具体的な値を直接求めることができます。最後の¥frac{n}{2^{n+1}} n¥to¥inftyの極限は、不定形なのでde l'Hopitalの定理を使えば簡単でしょう。

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